Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Частные производные функции двух и трех переменных

Читайте также:
  1. HR– менеджмент: технологии, функции и методы работы
  2. II Частные производные функции нескольких переменных
  3. II. Производные индола
  4. III Полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференциалы высших порядков
  5. III. Основные функции Управления
  6. IV. Функции
  7. IV. Функции

МАТЕМАТИКА

Функции двух и трех переменных

Методические указания и контрольные задания

для студентов дневной формы обучения строительных специальностей

 

 

Факультет инженерно-строительный

Для всех специальностей

 

Вологда

 

 

 

 

УДК: 511.147:511.61/62

 

 

Математика: Функции двух и трех переменных: методические указания и контрольные задания для студентов дневной формы обучения строительных специальностей. Вологда: ВоГТУ, 2010. –24 с.

 

В методических указаниях изложены основные задачи и методы их решения по теме «Функции двух и трех переменных», изучаемой студентами в курсе математики на инженерно-строительном факультете ВоГТУ. Перед изложением метода решения каждого типа задачи приведены краткие сведения из теории и необходимые формулы. В конце методических указаний приведены задачи, которые будут предложены студентам в контрольной работе по теме «Функции двух и трех переменных».

 

Утверждено редакционно-издательским советом ВоГТУ

 

Составитель: Н.В. Степанова, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики ВоГТУ.

Рецензент: О.И Микрюкова, канд. физ.-мат. наук, доцент,
зав. кафедрой высшей математики ВоГТУ.

Введение

Настоящие методические указания предназначены для студентов дневной формы обучения строительных специальностей. Их цель – помочь студентам в самостоятельном изучении материала по теме «Функции двух и трех переменных» и в подготовке к написанию контрольной работы по указанной теме.

 

Функции двух и трех переменных

 

Частные производные функции двух и трех переменных

Сведения из теории

Изложение теоретических сведений начнем с введения понятия функции двух переменных. Пусть есть переменная с множеством значений . Есть также две независимые переменные и . Они принимают такие значения, при которых пары образуют плоскую область .

 

Определение Переменная называется функцией двух переменных и , если каждой паре значений по некоторому правилу или закону сопоставляется единственное значение .

Термины: - область определения функции; и - аргументы функции.

Везде далее мы будем рассматривать аналитический способ задания функции. Это значит, что правило, по которому паре значений сопоставляется единственное значение , задается с помощью формулы .

Определение функции трех переменных мало отличается от определения функции двух переменных.

Определение Переменная называется функцией трех переменных , и , если каждой тройке значений по некоторому правилу или закону сопоставляется единственное значение .

Область или (для функции 3-х переменных) называется областью определения функции. Строго говоря, она должна оговариваться в условии задачи. При аналитическом задании функции (с помощью формулы) этого часто не делается. В таком случае в качестве области определения берется область допустимых значений переменных формулы, с помощью которой функция задана. Такая область определения называется естественной.

Пример. Найти область определения функции .

Решение.

Найдем область допустимых значений формулы, задающей функцию:

 

 

Ответ. Область определения функции - затемненная область на рисунке.

 

В теории функций одной переменной фундаментальным является понятие производной функции в точке. В теории функций 2-х и 3-х переменных фундаментальными являются понятия частных производных.

Рассмотрим два частных способа изменения переменных и для функции 2-х переменных.

Способ 1: изменяется, а фиксирована. При этом приращение переменной , обозначенное как , порождает приращение функции, задаваемое равенством . Оно называется частным приращением по , чтобы подчеркнуть, что изменяется только переменная .

 

Определение Частная производная (читается штрих по ) – это предел отношения частного приращения к приращению переменной при условии, что приращение , т.е.

.

 

Способ 2: изменяется, а фиксирована. При этом приращение переменной , обозначенное как , порождает приращение функции, задаваемое равенством . Оно называется частным приращением по , чтобы подчеркнуть, что изменяется только переменная .

 

Определение Частная производная (читается штрих по ) – это предел отношения частного приращения к приращению переменной при условии, что приращение , т.е.

.

Замечание В учебной литературе часто используется другое обозначение частных производных, а именно, и (читается дэ z по дэ x,
дэ z по дэ y).

Определение частных производных функции трех переменных принципиально не отличается от определения частных производных функции двух переменных. Разница состоит только в том, что при нахождении частных производных функции трех переменных одна переменная изменяется, а две других считаются константами.

Техника вычисления частных производных основана на тех же правилах, что и техника нахождения производных функции одной переменной. Этого и следовало ожидать, поскольку при вычислении частной производной меняется только одна переменная, а другие не меняются и считаются константами. При этом функции 2-х и 3-х переменных фактически становятся функциями одной переменной.

Частными дифференциалами функции 2-х переменных называются произведения вида и . Полный дифференциал – это сумма частных дифференциалов, т.е. .

Пример. Найти частные производные и полный дифференциал функции 2-х переменных .

Решение. Начнем с частной производной . При ее вычислении считаем константой. Тогда функция становится функцией одной переменной , т.е. . Как функция она является произведением и дифференцируется как произведение.

После небольшого упрощения получаем .

Найдем . Теперь функция становится функцией только от ,

а считается константой. По отношению к функция является обычным синусом. Тогда

.

Полный дифференциал функции будет иметь вид

Ответ. , ,

.

 

Пример. Найти частные производные функции 3-х переменных

.

Решение. Начнем с частной производной .

.

 

Сведения из теории

Обратите внимание на то, что частные производные 1-го порядка и сами являются функциями 2-х переменных. Для функции 2-х переменных также как и для функции одной переменной введены понятия производных второго порядка. Следует подчеркнуть, что, если для функции одной переменной существует только одна производная второго порядка , то для функции 2-х переменных можно вычислить 4 частных производных 2-го порядка, а именно: , , , . Частные производные , называются смешанными частными производными 2-го порядка. Очень важен порядок записи переменных в нижнем индексе. Например, символ означает, что сначала функция дифференцируется по и получается , а затем уже новая функция 2-х переменных дифференцируется по , т.е. . Не удивляйтесь, если получите, что . Это равенство справедливо во всех случаях, когда обе смешанные производные существуют.

 

Пример. Найти все частные производные 2-го порядка функции 2-х переменных

.

Решение.

В предыдущем примере были найдены частные производные первого порядка , . Вычислим , , , .

.

.

. .

Заметьте, как было сказано ранее, смешанные частные производные 2-го порядка не зависят от порядка дифференцирования, поэтому

.

Ответ. ; ; .

Пример. Установить, удовлетворяет ли функция данному дифференциальному уравнению в частных производных

.

Решение.

Функция удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных, если при подстановке этой функции в данное дифференциальное уравнение оно преобразуется в тождественное равенство.

Предварительно вычислим все частные производные, которые входят в дифференциальное уравнение.

; .

Подставим найденные выражения производных в левую часть дифференциального уравнения.

Ответ. Функция удовлетворяет данному дифференциальному уравнению в частных производных.

 


Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 176 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Линеаризация функции двух и трех переменных. Использование полного дифференциала в приближенных вычислениях. | Экстремумы функции двух переменных | Условный экстремум функции двух переменных | Линейное приближение экспериментальных данных |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Конструкций| Производная по направлению функции двух и трех переменных

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.016 сек.)