Затухающие колебания.

Из опыта известно, что любые колебания после их возбуждения постепенно затухают. Это означает, что в реальных колебательных системах энергия первоначального возбуждения с течением времени диссипирует, то есть превращается во внутреннюю или тепловую энергию.

Обратимся к электромагнитному маятнику. Реальный колебательный контур отличается от идеального наличием сопротивления. Закон Ома для такого контура выглядит так:

.

В стандартных обозначениях теории колебаний:

.

Здесь w ₀ - собственная частота гармонических колебаний, то есть колебаний, удовлетворяющих уравнению , а b - коэффициент затухания.

Общее решение будем искать в виде: (А и l комплексные). Тогда . Подставляя в дифференциальное уравнение, получаем:

.

После сокращения на множитель , получаем алгебраическое уравнение для нахождения l, которое называется характеристическим или секулярным для решаемого дифференциального уравнения:

Поскольку оно квадратное, его корни легко найти:

.

В зависимости от соотношения b и w ₀ решения дифференциального уравнения будут иметь различный характер. В основном, нас будет интересовать случай, когда b < w ₀.

Тогда , где . Общее решение будет линейной комбинацией двух решений, соответствующих l ₁ и l ₂:

,

где С ₁ и С ₂ - свободные комплексные постоянные. К сожалению, две комплексные экспоненты, стоящие в скобках нельзя складывать напрямую по правилам векторного сложения, поскольку на комплексной плоскости - это две стрелки, вращающиеся в разные стороны из-за знака «-» в показателе второй экспоненты. Но можно вспомнить, что нас интересует только действительная часть полученного выражения:

В последнем выражении константы и - уже действительные, а постоянные начальные фазы и возникают из-за комплексности предыдущих свободных констант. В силу чётности косинуса

.

Последнее равенство, очевидно, следует из правила сложения гармонических колебаний. Понятно, что А ₀ и j ₀ определяются из начальных условий.

Введём понятие затухающей амплитуды: . Тогда

.

Затухающие колебания не являются периодическими, но «нули» достигаются через равные промежутки времени, называемые условным периодом затухающих колебаний: , где

-

- условная циклическая частота затухающих колебаний.

Теперь введём некоторые понятия, связанные с затухающей амплитудой.

Обратный коэффициент затухания называется временем релаксации: . Тогда

.

Таким образом, время релаксации - это время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.

Логарифмическим декрементом затухания d называется безразмерная величина, равная натуральному логарифму отношения затухающей амплитуды в текущий момент времени к её будущему значению через период Т: .

Значит,

.

То есть логарифмический декремент равен обратному числу колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.

В заключение рассмотрим случай w ₀> b. Тогда

,

где l _1,2 - действительные. В этом случае движение не имеет колебательного характера и называется апериодическим. Здесь возможны два варианта, графики которых представлены на рисунке.

Механические колебания становятся затухающими благодаря наличию вязкой силы трения: , r - коэффициент сопротивления.

Дата добавления: 2015-07-24