Пример 3.6

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области Q = .

Решение. Данная функция – линейная, поэтому, учитывая замечание, воспользуемся графическим методом решения задачи.

Построим область Q. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству , расположены между прямой и параболой (рисунок 3.6, а)

Линии уровня данной функции имеют уравнение . Построим одну из них, например, при , т.е. прямую l с уравнением (рисунок 3.6, б).

Найдем и построим вектор . Имеем

,

,

откуда . Для линейной функции градиент не зависит от точки приложения, поэтому удобно построить его исходящим из начала координат (рисунок 3.6, б).

Передвигая прямую l в направлении градиента, видим, что точкой «входа» в область линий уровня является точка А, а точкой «выхода» – точка В. Координаты точки В находим из пересечения линий границы:

Þ Þ Þ .

Очевидно, в точке В , тогда . Итак, функция достигает наибольшего значения в точке В , а наибольшее значение равно

.

Найдем координаты точки А. Эта точка является точкой касания прямой и границы . Значит, в этой точке совпадают угловые коэффициенты этой прямой и касательной к кривой . Угловой коэффициент прямой , или равен . Касательная к линии в каждой точке х имеет угловой коэффициент . Тогда из равенства этих коэффициентов находим

Þ Þ .

Значит, абсцисса точки А , тогда ордината равна . Таким образом, данная функция достигает наименьшего значения в точке А и это значение равно

.

К отысканию наибольшего (наименьшего) значения функция в области часто приводит решение различных производственных задач. Рассмотрим один из наиболее простых классов таких задач – задачи линейного программирования. Под условным названием «Линейное программирование» понимают задачи на условный экстремум функции нескольких переменных, где и сама функция, и все ограничения, налагаемые на её переменные, линейны относительно этих переменных.

Прежде чем решать задачу производственного характера, относящуюся к задачам линейного программирования, необходимо сформулировать её на математическом языке, или, как говорят, составить математическую модель этой задачи.

Построение математической модели состоит из следующих этапов.

1. Выбрать и обозначить искомые переменные.

2. Составить условия, которым должны удовлетворять эти переменные. Они могут быть записаны в виде равенств или неравенств.

3. Составить функцию , экстремум которой необходимо найти. Эту функцию называют целевой функцией.

Тогда математическая постановка рассматриваемой задачи сводится к следующему: найти наибольшее (наименьшее) значение функции ,переменные которой удовлетворяют условиям:

Если задача содержит только две переменные, то её можно решить графическим методом по образу примера 3.6.

Дата добавления: 2015-07-24