Теорема 1.20. Для точки екстремуму функ­ції частинні похідні або дорівнюють нулю, або не існують.

Дослідження функцій багатьох змінних

Поняття екстремуму функції багатьох змінних

Означення. Точка називається точкою максимуму функції , якщо існує окіл точки , для всіх точок якого виконується нерівність

.

Означення. Точка називається точкою мінімуму функції , якщо існує окіл точки , для всіх точок якого виконується нерівність

.

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму.

Графічна інтерпретація

Точка А — точка максимуму Точка В — точка мінімуму

Рис. 1.25 Рис. 1.26

Можливий ще й такий варіант екстремальної точки: так звана сідлова точка (рис. 1.27).

Точка С — сідлова точка

Рис. 1.27

Необхідні умови існування екстремуму

Теорема 1.20. Для точки екстремуму функ­ції частинні похідні або дорівнюють нулю, або не існують.

Доведення. Розглянемо функцію однієї змінної, визначеної умовами теореми в деякому околі точки дійсної осі. У точці функція має екстремум. Тоді, оскільки , то або , або не існує (за теоремою для функції однієї змінної).

Аналогічно доводимо випадки .

Означення. Точки, в яких функція визначена, а її частинні похідні дорівнюють нулю або не існують, називають критичними точками цієї функції.

Для функції усі точки осі х є критичними, бо в кожній такій точці функція визначена, , а не існує. Точки екстремуму функції слід шукати лише серед її критичних точок.

Якщо для функції у точці екстремуму існують частинні похідні за всіма змінними, то всі вони дорівнюють у цій точці нулю:

(1)

Умови (1) не є достатніми умовами існування екстремуму.

Для функції ці умови виконуються в початку координат, але ця точка не є екстремальною для розглядуваної функції.

Означення. Точки, координати яких задовольняють систе-
му рівнянь (1), називаються стаціонарними точками функції . Точки екстремуму диференційовної функції слід шукати лише серед її стаціонарних точок.

Дата добавления: 2015-07-24