Сравнение двух регрессий

Выше предполагалось, что изменение значения качественного фактора влияет лишь на изменение свободного члена. Но это, безусловно, не всегда так. Изменение качественного фактора может привести к изменению, как свободного члена уравнения, так и наклона прямой регрессии.

Обычно это характерно для временных рядов экономических данных при изменении институциональных условий, введении новых правовых или налоговых ограничений. Например, можно предположить, что до некоторого года в стране обменный курс валют был фиксированным, а затем плавающим. Или налог на ввозимые автомобили был одним, а затем он существенно изменился. В этом случае зависимость может быть выражена так:

(61)

В этой ситуации ожидаемое значение зависимой переменной определяется следующим образом:

(62)

(63)

Фиктивная переменная в уравнении (61) используется как в аддитивном виде (), так и в мультипликативном ( ), что позволяет фактически разбивать рассматриваемую зависимость на две части, связанные с периодами изменения некоторого рассматриваемого в модели качественного фактора. Уравнение регрессии (61) достаточно хорошо моделирует ситуацию, изображенную на рис. 5.

Рис. 5,а.

На рис. 5,а в модели учитываются изменения, произошедшие с некоторого момента времени в характере расположения точек наблюдений.

Рис.5,б.

Имеет ли смысл строить сложную регрессию с фиктивными переменными (рис. 5,а) или ограничиться «обычной регрессией» (рис.5,б)? на этот вопрос можно ответить с помощью теста Чоу. Пусть выборка имеет объем . Через обозначим сумму квадратов отклонений значений от общего уравнения регрессии (рис. 5, б).

Пусть есть основание предполагать, что целесообразно общую выборку разбить на две подвыборки объемами соответственно и построить для каждой из выборок уравнение регрессии (рис. 5,а). Через и обозначим суммы квадратов отклонений значений , каждой из подвыборок от соответствующих уравнений регрессии. Очевидно, равенство возможно лишь при совпадении коэффициентов регрессии для всех трех уравнений (61-63). Разность может быть интерпретирована как улучшение качества модели при разбиении интервала наблюдений на два подынтервала. Дробь определяет оценку уменьшения дисперсии регрессии за счет построения двух уравнений вместо одного. При этом число степеней свободы сократится на , так как вместо параметра объединенного уравнения теперь необходимо оценивать параметра двух регрессий. Дробь —необъясненная дисперсия зависимой переменной при использовании двух регрессий. Общую выборку целесообразно разбить на две подвыборки только в случае, если уменьшение дисперсии будет значимо больше оставшейся необъясненной дисперсии. Данный анализ осуществляется по стандартной процедуре сравнения дисперсий на основе -статистики, которая в этом случае имеет вид

(64)

Если уменьшение дисперсии статистически не отличается от необъясненной дисперсии, то построенная -статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы и . Здесь - число количественных объясняющих переменных в уравнениях регрессии ( — одинаково для всех трех уравнений регрессии).

Тогда, если рассчитанное по формуле (64), окажется при выбранном уровне значимости меньше соответствующей критической точки распределения Фишера то считается, что различие между и статистически незначимо и нет смысла разбивать уравнение регрессии на части. В противном случае разбиение на подынтервалы целесообразно с точки зрения улучшения качества модели. Это фактически означает необходимость введения в уравнение регрессии соответствующей фиктивной переменной.

Тест Чоу вполне достаточен, если требуется установить, что зависимости в подвыборках различаются.

Рассмотрим пример 6. Имеются следующие данные ( -стаж работы (лет), -зарплата (ден. ед.), - пол работника (1- женщины, 0- мужчины), табл. 7).

Таблица 7.

В случае двух объясняющих переменных и имеем:

.

Произведя вычисления, получим эмпирическое уравнение регрессии

.

Следовательно, с увеличением стажа работы на 1 год зарплата увеличивается на 60,68 ден.ед., зарплата женщин в среднем меньше чем у мужчин на 100,7 ден.ед.

Дата добавления: 2015-07-24