Полумарковские модели боевых действий

Главное отличие полумарковских моделей от марковских состоит в отказе от требования экспоненциальности распределения времени пребывания системы в каждом конкретном состоянии, то есть функция распределения времени пребывания F_i(t)=P(Q_i≤t) может быть произвольной, где Q_i - случайная величина времени пребывания в состоянии i.

Такой подход открывает возможность охвата новых аспектов функционирования боевых единиц сторон.

Алгоритм построения полумарковского процесса n(t) можно представить в виде:

1. Описывается множество состояний W системы боевых единиц.

2. На множестве W строятся следующие характеристики:

- начальное распределение вероятностей состояний

;

- вектор функций распределения времени пребывания в состоянии

,

где Q_i – время пребывания системы в состоянии i;

- матрица условных удельных вероятностей в единицу времени, где процесс n(t) попадает в состояние j, пробыв в состоянии i время t:

причем

3. Записывается система интегральных уравнений Вольтера, которая для случая начального распределения вероятностей состояний

;

выглядит следующим образом:

где - символ Кронекера,

- условная вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии j, если в момент t=0 она была в состоянии i;

F_i(t) – функция распределения времени пребывания в состоянии i;

Q_iк – удельная условная вероятность перехода в состояние К после прохождения в состоянии i времени t.

4. Вычисляются вероятности состояний P_i(j,t) путем интегрирования уравнений Вольтера.

Полумарковский подход к описанию боя является более строгим, позволяет полнее учесть случайный характер момента обнаружения цели и момента выстрела, запаздывание момента проведения выстрела и некоторые другие факторы.

В качестве примера применения теории полумарковских процессов сравним результаты моделирования для системы 1:1, рассмотренной ранее для непрерывного марковского процесса в предположении, что , то есть при экспоненциальности распределения времени пребывания системы в некотором состоянии i.

Обозначим состояния (1:1) –1, (1:0) –2, (0:1) –3; u, v – эффективные скорострельности сторон.

Тогда

Вектор функций распределения F:

;

Матрица условных удельных вероятностей, что процесс n(t) попадет в j, пробыв в i время t:

Система уравнений Вольтера:

Из первого уравнения

Вытекает второе уравнение

Аналогично

Таким образом, в частном случае экспоненциального распределения времени пребывания системы в состоянии i мы получаем обычный марковский процесс.

Дата добавления: 2015-07-20