И показатели ее эффективности

Состояние однофазной СМО с абсолютно надежными обслуживающими каналами в любой момент времени определяется числом заявок k, находящихся в ней. Если число заявок k £ n – числа каналов, то k заявок находится на обслуживании, очереди нет. Если k > n, то все каналы заняты, а k - n заявок находится в очереди.

Величина k зависит от свойства потоков событий и может принимать значения , где причем для СМО с отказами m = 0, а для систем с неограниченной очередью и

Увеличение числа заявок в системе (переход системы из состояния S _k в состояние S _km ) происходит под воздействием потока заявок интенсивностиl, которая не зависит от k.

Уменьшение числа заявок в системе (переход системы из состояния S _k в состояние S _{k -1}) происходит в общем случае под воздействием потока обслуживаний интенсивности m и потока ухода заявок из очереди необслуженными интенсивности n.

Из сказанного следует, что однофазной СМО соответствует граф состояний (рис.1.7), вершины которого (S ₀, S ₁, S ₂ …) образуют последовательную цепочку и любые две соседние вершины соединены двумя встречно направленными дугами, а процесс ее функционирования представляет собой так называемый процесс «гибели и размножения».

Определим предельные вероятности состояний R_k для СМО с конечным числом состояний. Для СМО R_k – это вероятность того, что в произвольный момент времени в системе находится ровно k заявок.

В СМО с конечным числом состояний всегда имеет место стационарный режим, так как между любыми двумя вершинами графа существует маршрут.

Для каждой вершины графа состояний системы составляются уравнения Колмогорова по правилу: сумма произведений интенсивности входящих потоков событий и предельных вероятностей состояний, из которых эти потоки исходят, равна сумме произведений интенсивностей исходящих потоков событий и предельной вероятности состояния исследуемой вершины графа.

Уравнения Колмогорова имеют:

- состояние S ₀

- состояние S ₁

- состояние S ₂

- состояние S_N

Из полученных уравнений Колмогорова и условия нормировки

составляют систему уравнений. Решая полученную систему уравнений, определяют все вероятности через Р ₀:

(1.47)

где k =1, 2, …, N,

(1.48)

Эффективность СМО характеризует ее приспособленность к выполнению задач по обслуживанию заявок. Показатель эффективности – это количественная мера эффективности, определяющая степень соответствия результатов функционирования СМО целям (задачам), стоящим перед системой.

Наиболее часто используются следующие показатели эффективности СМО:

1. Вероятность отказа в обслуживании Р _отк – вероятность того, что поступившая в систему заявка не будет обслужена:

(1.49)

где - параметр обслуживания (среднее необходимое число обслуживающих приборов).

2. Абсолютная пропускная способность СМО Q - это среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени. Для оценки потенциальных возможностей системы по обслуживанию заявок используется пропускная способность системы

(1.50)

3. Относительная пропускная способность q – это средняя доля заявок, обслуживаемых системой

(1.51)

Величину q можно определить через Р _отк. Действительно, Р _отк - средняя доля времени, в течение которого заявки получают отказ, а следовательно, и средняя доля заявок, не принимаемых системой на обслуживание, т.е.

(1.52)

4. Среднее число занятых каналов

(1.53)

Производными от данного показателя являются коэффициент занятости (загрузки) каналов k _зи коэффициент их простоя k _п:

где r – номинальный коэффициент загрузки каналов.

5. Средняя длина очереди L – математическое ожидание числа заявок, ожидающих обслуживания:

(1.54)

где Р _ож – вероятность того, что поступившая в систему заявка застанет все каналы занятыми:

(1.55)

6.Среднее время ожидания обслуживания - математическое ожидание времени пребывания заявки в очереди

(1.56)

7. Среднее время пребывания заявки в системе

(1.57)

8.Экономическая эффективность СМО может быть оценена средней прибылью, полученной в единицу времени при функционировании системы:

где С _о - прибыль, полученная при обслуживании заявки;

С - функция стоимости потерь;

С _з - стоимость эксплуатации канала в единицу времени;

С _оп - стоимость единицы времени простоя канала;

С _ож - стоимость потерь, связанных с простаиванием заявки в очереди в единицу времени;

С _у - стоимость убытков, связанных с уходом заявки из системы.

Выбор показателя для оценки эффективности конкретной СМО определяется как особенностями системы (ее типом) и ее назначением, так и задачами проводимого исследования.

Дата добавления: 2015-07-20