Замечание 1

Цель работы

Получение практических навыков работы с пакетом MatLab при вычислениях в символическом виде.

Основы СимВоЛиЧЕСКИХ выЧИСЛЕНИЙ В MATLAB

Символические переменные и функции

В состав MatLab входит ToolBox Symbolic Math, предназначенный для вычислений в символическом виде. Преобразование выражений, определение аналитических решений задач линейной алгебры, дифференциального и интегрального исчисления, получение численных результатов с любой точностью - вот далеко не полный перечень возможностей, предоставляемых ToolBox.

Символические переменные и функции являются объектами класса sym object, в отличие от числовых переменных, которые содержатся в массивах double array. Символический объект создается при помощи функции syms.

Команда

>> syms x a b

создает три символические переменные x, a, b. Конструирование символических функций от переменных класса sym object производится с помощью обычных арифметических операций и обозначений для встроенных математических функций, например:

>> f=(sin(x)+a)^2*(cos(x)+b)^2/sqrt(abs(a+b))

f=

(sin(x)+a)^2*(cos(x)+b)^2/abs(a+b)^(1/2)

Запись формулы в одну строку не всегда удобна, более естественный вид в виде дроби позволяет получить функция pretty:

>> pretty(f)

2 2

(sin(x) + a) (cos(x) + b)

---------------------------

1/2

| a + b |

Определенная функция f также является символической, в чем не трудно убедиться при помощи команды whos.

Имеющиеся символические переменные и функции позволяют образовывать новые символические выражения:

>> syms y

>> g=(exp(-y)+1)/exp(y)

g =

(exp(-y)+1)/exp(y)

>> h=f*g

h =

(sin(x)+a)^2*(cos(x)+b)^2/abs(a+b)^(1/2)*(exp(-y) +1)/exp(y)

>> pretty(h)

2 2

(sin(x) + a) (cos(x) + b) (exp(-y) + 1)

-----------------------------------------

1/2

| a + b | exp(y)

Символическую функцию можно создать без предварительного объявления переменных при помощи функции sym, входным аргументом которой является строка с выражением, заключенным в апострофы:

>> z=sym('c^2/(d+1)')

z =

c^2/(d+1)

>> pretty(z)

c

-----

d + 1

Замечание 1

Функция sym может быть использована для объявления символических переменных. Команда syms a b с эквивалентна последовательности команд a=sym('a'), b=sym('b'), с=sym('c'):

>> syms a b c

>> whos a b c

Name Size Bytes Class

a 1x1 126 sym object

b 1x1 126 sym object

c 1x1 126 sym object

Grand total is 6 elements using 378 bytes

>> a1=sym('a1'), b1=sym('b1'), c1=sym('c1')

a1 =

a1

b1 =

b1

c1 =

c1

>> whos a1 b1 c1

Name Size Bytes Class

a1 1x1 128 sym object

b1 1x1 128 sym object

c1 1x1 128 sym object

Grand total is 9 elements using 384 bytes

При работе в области комплексных чисел следует указать, что определяемые переменные являются в общем случае комплексными. Комплексные символические переменные задаются командой syms с опцией unreal. Опция real означает, что переменные трактуются как вещественные.

Рассмотрим пример, где результат символических вычислений зависит от того, какие символические переменные используются - вещественные или комплексные. Объявим две вещественные переменные a и b, и образуем комплексное число, считая, что a является действительной частью, а b - мнимой, затем найдем сопряженное к нему число при помощи conj:

>> syms a b real

>> p=conj(a+i*b)

p =

a-i*b

Произведем аналогичные действия, предварительно объявив a и b комплексными символьными переменными:

>> syms a b unreal

>> q=conj(a+i*b)

q =

conj(a+i*b)

Таким образом, в общем случае p ¹ q.

Символические переменные могут являться элементами векторов и матриц. Элементы строк матриц при вводе отделяются пробелами или запятыми, а столбцов - точкой с запятой, так же как и при вводе обычных матриц. В результате образуются символические матрицы и векторы, к которым применимы матричные и поэлементные операции, а также встроенные функции. Рассмотрим пример ввода и умножения двух символических матриц:

>> syms a b c d e f g h

>> A=[a b;c d]

A =

[ a, b]

[ c, d]

>> B=[e f; g h]

B =

[ e, f]

[ g, h]

>> C=A*B

C =

[ a*e+b*g, a*f+b*h]

[ c*e+d*g, c*f+d*h]

Функция sym позволяет преобразовывать значения числовых переменных в символические. Введите числовую матрицу A и преобразуйте ее в символическую матрицу B:

>> A=[1.3 -2.1 4.9

6.9 3.7 8.5]

A =

1.3000 -2.1000 4.9000

6.9000 3.7000 8.5000

>> B=sym(A)

B =

[ 13/10, -21/10, 49/10]

[ 69/10, 37/10, 17/2]

При переходе от числовых выражений к символическим используется запись числа в виде рациональной дроби. Использование рациональных дробей при выполнении символических вычислений позволяет всегда получать точный результат, не содержащий погрешности округления. Убедиться в этом можно на следующем простом примере. Установите формат long для отображения максимально возможного числа значащих цифр для значений числовых переменных и найдите сумму чисел и .

>> format long

>> 1.0e10+1.0e-10

ans =

1.000000000000000e+010

Теперь преобразуйте числа в символические переменные и снова вычислите сумму:

>> large=sym(1.0e10);

>> small=sym(1.0e-10);

>> s=large+small

s =

100000000000000000001/10000000000

Рациональная дробь является точным значением суммы. Понятно, что символические вычисления требуют больших временных затрат по сравнению с обычными.

Вычисление символических выражений производится с помощью функции vpa, например:

>> c=sym('sqrt(2)');

>> cn=vpa(c)

cn =

1.4142135623730950488016887242097

По умолчанию сохраняется тридцать две значащие цифры. Второй входной параметр функции vpa позволяет задавать вычисления с заданным числом разрядов, например, с 50 разрядами:

>> cn=vpa(c,50)

cn =

1.4142135623730950488016887242096980785696718753769

Выходное значение функции vpa является символической переменной, но его можно использовать в обычных вычислениях, например:

>> cn=vpa(c,50)

cn =

1.4142135623730950488016887242096980785696718753769

>> cn+2

ans =

3.4142135623730950488016887242096980785696718753769

>> cn*2

ans =

2.8284271247461900976033774484193961571393437507538

Результат арифметических операций в этих случаях получается в символических переменных. Для перевода символических переменных в числовые, т.е. переменные типа double array, используется функция double:

>> cnd=double(cn)

cnd =

1.41421356237310

Визуализация символических функций одной переменной осуществляется при помощи ezplot. Самый простой вариант использования ezplot состоит в указании символической функции в качестве единственного входного аргумента, при этом в графическое окно выводится график функции на отрезке [-2p, 2p]. Например:

>> f=sym('x*sin(x^2)^3');

>> ezplot(f)

Обратите внимание (рис. 1), что автоматически создается соответствующий заголовок. Вторым аргументом может быть задан вектор с границами отрезка, на котором требуется построить график функции:

>> ezplot(f,[-9 7])

Рис.1. График символической функции

Функция ezplot имеет некоторые отличия от своего аналога - функции fplot, применяемой к числовым функциям. В частности, возможно указание символической функции, зависящей от двух аргументов:

>> z=sym('x^2+a^3');

>> ezplot(z,[-2 1 -3 4])

Пределы изменения аргументов определяются их названиями. Первые два числа соответствуют первому по алфавиту аргументу, а последние - второму. В рассматриваемом примере a изменяется от -2 до 1, а x изменяется от -3 до 4. В графическое окно выводится линия, удовлетворяющая выражению x^2+a^3=0.

ToolBox Symbolic Math предоставляет пользователю целый набор средств для визуализации символических функций [1, 2].

Дата добавления: 2015-07-20