Линейные неоднородные уравнения в частных производных I степени

Читайте также:

Неоднородное уравнение в частных производных I степени записывается в следующем виде:

(6)

где - функция от вектора переменных . Подобно решению линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений, решение уравнений типа (6) ищется в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Для этого, система характеристик (2) дополняется уравнением для функции :

(7)

Система (7) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений в расширенном пространстве. Если решение системы (2), взятое в виде функций по вспомогательным переменным подставить в (7), то последнее уравнение будет представлять собой производную функции : и его можно проинтегрировать по (вдоль характеристики), тем самым получив искомое частное решение: .

Итоговое решение уравнения (6) запишется в виде:

(8) .

Задача Коши решается (с теми же условиями наличия решения) для уравнения (6) также как и для уравнения (1).

(пример №4): задано неоднородное УЧП I степени

а) решаем систему характеристик

Объединяя решения, получим: , отсюда первый интеграл и общее решение УЧП I степени запишется в виде: .

б) находим частное решение, для чего записываем уравнение для :

Итоговое решение запишется в виде: .

На рисунке 6 представлена поверхность функций и нанесены линии характеристик (в плоскости ). Для неоднородных уравнений характерно то, что вдоль линий характеристик функция уже не сохраняет постоянные значения.