Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Дифференциалы высших порядков

Читайте также:
  1. II. Акты высших органов судебной власти
  2. III Полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференциалы высших порядков
  3. б) ОБРАЗОВАНИЕ НЕРАСТВОРИМЫХ СОЛЕЙ ВЫСШИХ ЖИРНЫХ КИСЛОТ
  4. Виды высших чувств
  5. Дифференциалы самоблокирующиеся
  6. Допускается нумеровать иллюстрации в пределах главы. В этом случае номер иллюстрации состоит из номера главы и порядкового номера иллюстрации, разделенных точкой.

 

Пусть функция определена в некотором промежутке Х и имеет там конечную производную . Тогда, как мы знаем,

. (1)

Ясно, что есть функция от х, определенная в промежутке X, и поэтому можно поставить вопрос о нахождении дифференциала от этой новой функции.

Второй дифференциал функции определяется как дифференциал от первого дифференциала, т. е. . Если дифференциал порядка () функции уже определен, то дифференциал порядка функции равен: .

При этом, конечно, предполагается существование соответствующих дифференциалов.

При вычислении дифференциалов высшего порядка следует существенно различать два случая: 1) когда аргумент х является независимой переменной; 2) когда аргумент х представляет собой дифференцируемую функцию некоторой переменной t.

Переходя к вычислению дифференциалов высшего порядка, прежде всего рассмотрим случай, когда аргумент х является независимой переменной. В этом случае , т. е. совпадает с произвольным приращением независимой переменной, а значит, не зависит от х и, следовательно, при дифференцировании по х величину следует рассматривать как постоянное число. Стало быть, будем иметь

, (2)

, (3)

Допустим, что

. (*)

Тогда

.

Видим, что переход от к сделан. Для формула (*) установлена непосредственно. В силу перехода от к формула (*) будет верна для , т. е. вплоть до того , для которого существуют соответствующие дифференциалы функции . Из формулы (*) получаем следующее равенство:

.

Таким образом, для случая, когда аргумент х является независимой переменной, -я производная функции в точке равна отношению дифференциала -го порядка этой функции в точке х, к -й степени дифференциала аргумента.

Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда аргумент х сам является функцией некоторой переменной t. Будем иметь в этом случае , где — независимая переменная, а х — промежуточная переменная.

По свойству инвариантности формы дифференциала первого порядка сложной функции и в этом случае будет .

Только в этом случае уже нельзя рассматривать как постоянное число, ибо . Здесь уже второй дифференциал , вообще говоря, не равен нулю и определяется формулой . Поэтому, используя правило вычисления дифференциала от произведения двух функций, будем иметь, например,

. (5)

. (6)

Мы видели, что когда переменная х была независимой, то , (см. формулы (2) и (3)). Сопоставив эти равенства с равенствами (5) и (6) соответственно, замечаем, что свойство инвариантности формы для дифференциалов сложной функции порядка () в общем случае уже не имеет места.

Мы сказали «в общем случае» потому, что имеется частный случай, когда свойство инвариантности имеет место. Это будет тогда, когда х является линейной функцией от t, т. е. ( и — постоянные числа). Действительно, в этом случае , и, следовательно, вместо формул (5) и (6) будем иметь , .

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 87 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Производная. Механический и геометрический смысл производной | Односторонние производные. | Понятие дифференцируемости функции | Формулы и правила вычисления производных | Простейшие правила вычисления производных. | Правило дифференцирования сложной функции. | Правила дифференцирования обратных функций. | Дифференциал функции | Сводка формул для дифференциалов. | Производные высших порядков |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Механическое истолкование второй производной.| Дифференцирование функции, заданной параметрически

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)