Нормированное (нормальное) уравнение плоскости.

Рассмотрим произвольную плоскость p. Проведем через начало координат О прямую n^p, Р=LÇn – точка пересечения прямой n и плоскости p. n –единичный вектор прямой n, его направление совпадает с направлением отрезка ОР (если точки О и Р совпадают, то направление вектора n выбирают произвольно).

Выразим уравнение плоскости p через следующие параметры: длину р отрезка ОР и углы a, b и g наклона вектора n к осям Ох, Оу и Оz соответственно.

Т.к. n – единичный вектор, то его координаты равны проекциям на оси координат: n ={cos a, cos b, cos g} (9)

Точка М(х,у,z) лежит на плоскости p тогда и только тогда, когда проекция вектора на ось, определяемую вектором n, равна р, т.е. при условии

пр _n =р (10)

Т.к. , то ½ n ½пр _n =пр _n = n × (11)

n × =х cos a+у cos b+ z cos g (12)

Из (10) и (12) следует, что точка М(х,у,z) лежит на плоскости p тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению:

х cos a+у cos b+ z cos g=р или

х cos a+у cos b+ z cos g-р=0 (13)– нормированное (нормальное) уравнение прямой.

Общее уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 можно преобразовать в нормальное.

Если плоскость задана общим уравнением Ах+Ву+Сz+D=0 и нормированным уравнением х cos a+у cos b+ z cos g-р=0, то найдется число t такое, что:

tА=cos a, tB=cos b, tC=cos g, D= -p.

Возведя в квадрат первые три равенства и сложив их, получим: t²(A²+B²+С²)=1.

Тогда t= .

Т.к. всегда расстояние р³0, то из равенства tD=-p заключаем, что знак t противоположен знаку D.

Т.о., для приведения общего уравнения прямой Ах+Ву+С=0 к нормированному виду, следует умножить его на нормирующий множитель t= , знак которого противоположен знаку С.

Если D=0, то плоскость проходит через начало координат (р=0). В этом случае знак нормирующего множителя можно выбирать любым.

Отклонение точки от плоскости.

Дата добавления: 2015-07-20