Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Угол φ между двумя плоскостями α₁ и α₂ измеряется плоским углом между 2 лучами, перпендикулярными прямой, по которой эти плоскости пересекаются. Любые две пересекающиеся плоскости образуют два угла, в сумме равных p. Достаточно определить один из этих углов.

Пусть плоскости заданы общими уравнениями:

p₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

p₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

Нормальные векторы этих плоскостей: n₁ ={A₁;B₁;C₁}, n₂ ={A₂;B₂;C₂}.

Тогда искомый угол φ можно определить как угол между нормальными векторами n₁ и n₂, следовательно:

сosφ= , т.е. сosφ= (6)

1) Если плоскости α₁||α₂, то и нормальные векторы n₁ || n₂. Следовательно, условие параллельности плоскостей: (7)

При этом, если , то плоскости совпадают.

2) Если плоскости α₁ α₂, то и нормальные векторы n₁ n₂. Следовательно, условие перпендикулярности плоскостей: А₁А₂+В₁В₂+С₁С₂=0 (8).

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1;3;1) параллельно плоскости 2х-3у+4z-5=0.

Т.к. α₁||α₂, то в качестве нормального вектора искомой плоскости возьмем вектор n₁ =(2;-3;4). Параметр D найдем, подставив в уравнение 2х-3у+4z +D=0 координаты точки М.

Дата добавления: 2015-07-20