Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть функция y=f(x) задана таблицей. Построим интерполяционный многочлен L_n(x), степень которого не больше n и выполняются условия: L_n(x) =у_i i = 0, 1,..., п. Будем искать L_n(x) в виде

L_n(x) = р₀(х)у₀ + р₁(х)у₁ +... + рп(х)у_п = р_i(х)у_i,

где р_i(х) — многочлен степени п;

, т. е. р_i(х) только в одной точке отличен от нуля при i=j, а в остальных точках он обращается в нуль. Сле­довательно, все эти точки являются для него корнями:

p_i(x) = с(х - х₀)(х – х₁)...(х – х_i-1)(х – х_i+1)...(х – х_n);

При x = x_i

p_i(x_i) = с(x_i – x₀) (х_i – x₁)...(х_i – х_i-1)(х_i – х_i+1)...(х_i – х_n);

с = [(x_i - х₀)(х_i – х_i)...(х_i – х_i-1)(х_i – х_i+1)...(х_i – х_n)]^-1;

подставим с в формулу p_i(x), получим:

отсюда

Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа. По не­полной таблице формула позволяет весьма просто составить внешний вид многочлена.

Пример 1. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной таблично

X
Y

Дата добавления: 2015-07-20