Схема исследования функции

При исследовании функции следует выполнить следующие операции:

1) найти множество определения функции, выделить точки разрыва;

2) исследовать поведение функции в окрестностях граничных точек множества определения, определить типы разрыва;

3) найти асимптоты графика функции;

4) проверить наличие свойств четности, нечетности, периодичности;

5) найти нули функции;

6) выделить интервалы монотонности, найти экстремумы функции;

7) выделить интервалы выпуклости и вогнутости, указать точки перегиба.

Пример 16. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Множество определения функции X =

2. .

х = 1 ─ точка бесконечного разрыва (точка разрыва второго рода).

3. ─ наклонная асимптота, ─ вертикальная асимптота (см. пример 7).

4. Функция не является ни четной, ни нечетной;

Функция не является периодической.

5. .

6. , .

– интервал возрастания функции,

– интервал убывания функции,

– интервал убывания функции,

– интервал возрастания функции (см. пример 8).

7. равна при Но эта точка не может быть точкой перегиба графика функции, так как в ней функция не определена.

В интервале (–¥; 1) функция выпуклая (), в интервале (1; +¥) функция вогнутая ().

Пример 17. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Множество определения функции X = .

2. Точек разрыва функции нет.

3. ,

.

─ горизонтальная асимптота.

Вертикальных асимптот график функции не имеет.

4. . Функция не является ни четной, ни нечетной (f (– x) ≠ f (x); f (– x) ≠ – f (– x)). Функция не является периодической.

5. Нулей функции нет.

6. . Производная функции равна нулю в точках

	─		+		─
	Убывает		Возрастает		Убывает

Интервалами монотонности функции являются:

.

,

.

7. .

В точках x = 0; x = 3; x = 6 производная второго порядка равна нулю.

	Выпуклая		Вогнутая		Выпуклая		Вогнутая
	─		+		─		+

Точки ─ точки перегиба графика функции.

Пример 18. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Множество определения функции X =

2 , . х = –1 ─ точка бесконечного разрыва (точка разрыва второго рода).

3. ,

.

─ наклонная асимптота;

─ вертикальная асимптота.

4. Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не является периодической.

5. при ; .

6. . Производная функции равна нулю в точках х = –2 и х = –0.

Точка ─ не является критической точкой, так как в этой точке функция не определена. Таким образом, критическими точками этой функции являются точки х = –2 и х = –0. Интервалами монотонности функции являются: (–¥; –2), (–2; –1), (–1; 0), (–1; +¥).

	(–¥; –2)	–2	(–2; –1)	–1	(–1; 0)		(–1; +¥)
	+		─		─		+
	Возрастает		Убывает		Убывает		Возрастает

, .

7. Вторая производная функции равна в точке .

Эта точка не может быть точкой перегиба графика функции, так как в ней функция не определена.

	─		+
	Выпуклая		Вогнутая

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Брылевская Л.И. и др. Математические символы и термины. Учебное пособие /Л.И. Брылевская, Ю.Р. Гисматуллин, Л.А. Кухаренко. – СПб: ПГУПС, 1998.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1984.

3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.– М.: Наука, 1977.

4. Иванова Е.Е. Дифференциальное исчисление функции одного переменного. Математика в техническом вузе. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.

5. Ильин В.А. и др. Математический анализ: Начальный курс /В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Б.Х. Сендов.– М.: Изд-во МГУ, 1985.

6. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1989.

7. Кухаренко Л.А. и др. Математический анализ. Учебное пособие. Ч.1/ Л.А. Кухаренко, Ю.Р. Гисматуллин, Т.С. Моисеенко. –СПб.: ПГУПС, 1997.

8. Кухаренко Л.А. Математический анализ. Учебное пособие. Ч.2. – СПб, ПГУПС, 2001.

9. Кухаренко Л.А. Введение в анализ. Учебное пособие. – СПБ, ПГУПС, 2004.

10. Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1986.

11. Морозова В.Д. Введение в анализ. Математика в техническом вузе. Вып. 1. – М.: Изд-во МГТУ, 1998.

12. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1. – М.: Наука, 1983.

13. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 1. – СПб.: МИФРИЛ, 1997.

14. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. – М.: Наука, 1966.

15. Хавин В.П. Основы математического анализа. Т. 1. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1989.

Учебное издание

БУШМАКИНА Юлия Вячеславовна

ГАРБАРУК Виктор Владимирович

КОСТРОМИНОВ Александр Александрович

МАЛИНСКАЯ Лидия Харитоновна

Компьютерная верстка ГАРБАРУКА В.В., БУШМАКИНОЙ Ю.В. и КОСТРОМИНОВА А.А.

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИ ПРОИЗВОДНЫХ

Методические указания для студентов заочного факультета

Дата добавления: 2015-07-20