Интерполирование функции кубическим сплайном.

Рассмотрим проблему аппроксимации функции , заданной на большом отрезке таблицей в точках (в узлах интерполяции). При этом у нас нет оснований считать настолько гладкой, чтобы было применимо вышеупомянутое интерполирование полиномами высоких степеней. В таких условиях более приемлемо кусочно-полиномиальное интерполирование составной функцией из полиномов небольшой степени с гладкой стыковкой между ними. Такой подход называют аппроксимацией сплайнами.

Сплайн, интерполирующий заданную на отрезке функцию , определяется как раз дифференцируемая функция , которая на каждом из промежутков представляет собой полином степени . Число функцию называется степенью сплайна, а число - его дефектом. В узлах сплайна его значения совпадают со значениями исходной функции .

(4.11)

В простейшем случае аппроксимации функции ломаной линией мы имеем дело со сплайном степени 1 и дефекта 1. Практический интерес для численного анализа представляют сплайны с малым дефектом и существенной гладкостью. Мы ограничимся рассмотрением наиболее известных и широко применяемых кубических сплайнов степени 3 и дефекта 1. Такой сплайн представляет собой набор кубических парабол

От сплайна требуется достаточно высокая степень гладкости. Это обеспечивается требованием непрерывности функций на . Если к ним добавить условие , то мы получим кубический сплайн, который называют естественным или чертежным сплайном, поскольку функция описывает прогиб гибкого упругого стержня, проходящего через точки . В переводе с английского слово сплайн может означать гибкую планку или рейку.

Выпишем более подробно требования к прогибам естественного сплайна.

1. условия интерполяции:

(4.12)

1. условия гладкой стыковки звеньев сплайна:

1. краевые условия на свободных концах:

(4.16)

Условия (2)-(6) дают нам уравнений для определения неизвестных коэффициентов в формуле (1).

Ограничимся рассмотрением функции, заданной таблично в равноотстоящих узлах

.

Для анализа табличной функции удобно использовать понятия конечных разностей. У нашей функции имеется конечных разностей первого порядка:

От них можно образовать разность второго порядка:

Образуется некая пирамида, которая заканчивается одной конечной разностью -го порядка : Полезно привести выражения конечных разностей непосредственно через значения функции;

Нетрудно продолжить процесс построения этих выражений, если вспомнить биноминальные коэффициенты и треугольник Паскаля. Отметим очевидную связь конечных разностей с производными:

.

Вернемся к вопросу о вычислении коэффициентов естественного сплайна (4.11). Условия (4.12)-(4.16) приводят к системе уравнений, из которой можно найти неопределенные коэффициенты

. (4.17)

а затем и остальные неопределенные коэффициенты

. (4.18)

Если функция на отрезке имеет непрерывные производные не ниже четвертого порядка, то оценка точности интерполирования кубическим сплайном дефекта один по литературным данным [1 Г.И. Марчук Методы вычислительной математики.-.М.: Наука, 1977.] имеет порядок .

Пример 4.3. Интерполяция табличной функции сплайнами. Задана табличная функция таблицей с равноотстоящими узлами.

Построить естественный кубический сплайн , интерполирующий функцию Для сравнения построить линейный сплайн и интерполяционный полином Лагранжа .

Решение. Кубический сплайн , заданный формулой (4.11). У нас 5. Представим функцию в виде суммы кубических функций , каждая из которых отлична от нуля на соответствующем частичном промежутке . Коэффициенты этих функций рассчитываются по формулам (4.17) и (4.18). Аналогично строится и линейный сплайн . Построение интерполяционного полинома Лагранжа представлено на рисунке 4.1. Подробности построений представлены на рисунках (4.7) и (4.8).

Задание табличной функции

Рис. 4.6

Построение кубического и линейного сплайнов, а также интерполяционного полинома Лагранжа.

 

Рис. 4.6

Домашнее задание № 4

1. Выполнить задание примеров 4.1 и 4.3, взяв исходную табличную функцию из книги Ракитина и Первушина стр.78-80 по своему номеру из списка.
2. Выполнить задание примера 4.2, приняв последняя цифра номера вашей группы и взяв функцию и отрезок из приведенной ниже таблицы по своему номеру из списка.

Зачет по заданию либо после личного объяснения того, что написано в маткадовском тексте (в т.ч. на экзамене) либо по напечатанной работе с достаточно подробными комментариями того, что сделано. Если студент не понимает, что он набрал в маткаде, это пустая работа.

номер	функция	a	b	номер	функция	a	b
		-2					2
		-2
		-3
						-1
		-2				-2
		-3
		-2
		-2
						-1

Дата добавления: 2015-07-20