Динамические величины и элементы теории напряжений

Для изучения движения сплошной среды в связи с причинами, которые это движение вызывают, вводят понятие о силах. Силы могут быть внешними и внутренними. Первые являются следствием воздействия на рассматриваемое тело других тел, а вторые возникают в результате взаимодействия элементов данного тела. Внешние и внутренние силы могут быть двоякого рода: объемные (или массовые) и поверхностные. Объемная сила действует на массу, заключенную в произвольном элементе объема тела, например сила тяжести.

Пусть (x,t)— объемная сила, отнесенная к единице объема. Тогда сила, действующая на бесконечно малый объем dV, равна

dV, а на объем V —равна dV (рис. 1).

Поверхностная сила действует на элементы, которые можно мысленно выделить внутри тела или на его поверхности. Сила, действующая на бесконечно малый элемент поверхности dS, равна dS, где — вектор силы, рассчитанный на единицу площади элемента и приложенный в любой его точке, называется вектором напряжения или просто напряжением (см. рис. 1).

Напряжение зависит от положения элемента dS, т. е. от ориентировки его в теле. Если требуется указать, что напряжение

относится к площадке с нормалью п, то пишут .

Рис. 4. Схема действия массовых и поверхностных сил в объеме V

Проекции этого вектора на оси произвольной системы координат Ох₁х₂х₃ обозначаются через σ_nj (j= 1, 2, 3). В частности, проекции напряжений _xi, отнесенные к площадкам, перпендикулярным к координатным осям Ox_i, обозначаются через σ_ij (i,j = 1,2,3), где σ_ii называются нормальными напряжениями, а σ_ij = σ_ji (i≠j) — касательными напряжениями, действующими на этих площадках (рис. 5). Легко доказать следующие очень важные соотношения:

σ_nj = (i, j = 1,2,3), (1.29)

которые позволяют найти компоненты вектора напряжения для произвольной площадки с нормалью , проходящей через точку М; α_i = cos(n, х_i) (i = 1, 2, 3).

Поэтому говорят, что совокупность шести величин σ_ij, называемых компонентами симметричного тензора напряжений, полностью характеризует напряженное состояние в точке тела М.

Рис. 5. Расположение компонент тензора напряжений относительно выбранной декартовой системы координат

Рис. 6. Векторы напряжений в точке М, действующие в двух произвольно ориентированных площадках

Рис. 7. Нормальная и касательная проекции вектора напряжения

Пусть заданы две площадки, проходящие через одну и ту же точку М (рис. 6). Используя формулу (1.29), нетрудно доказать, что проекция напряжения , действующего на первую площадку, на нормаль ко второй равна проекции напряжения , действующего на вторую площадку, на нормаль к первой и вычисляется по формуле

(1.30)

где α_1i и α_2j — направляющие косинусы нормалей и . Эта формула позволяет вычислить проекцию на любое направление вектора напряжения, действующего на данную площадку. В частности, проектируя вектор на направление нормали, получаем нормальное напряжение (рис. 7)

(1.31)

Касательное напряжение на этой же площадке равно

(1.32)

где σ_n — величина вектора напряжения .

Из формулы (1.30) следуют формулы перехода от одной системы Ох₁х₂х₃ координат к другой О ;

(1.33)

где σ'_кr — компоненты тензора напряжений относительно новой системы координат;

α_кi = cos (), α_rj = cos ().

Например, зависимость между напряжениями в декартовой (Ох₁х₂х₃) и цилиндрической (r, θ, z) системах координат с общей осью Ox₃ = Oz имеет вид

σ_rr = σ₁₁cos²θ + σ₂₂ sin²θ + σ₁₂ sin 2θ;

σ_θθ= σ₁₁ sin²θ + σ₂₂ cos²θ - σ₁₂ sin 2θ; σ_zz = σ₃₃;

σ_rθ = (σ₂₂ - σ₁₁)sin 2θ + σ₁₂ cos2θ; (1.34)

σ_rz = σ₁₃ cosθ + σ₂₃sin θ;

σ_θz= - σ₁₃ sinθ + σ₂₃ cosθ;

где σ_rr —радиальное напряжение, действующее на площадке, перпендикулярной к радиусу; σ_θθ — тангенциальное (окружное) напряжение, действующее на площадке, нормаль которой перпендикулярна к радиусу.

Принимая во внимание известные соотношения аналитической геометрии

из формул (1.33) после суммирования левой и правой частей по к (при r = к) получается важное соотношение

(1.35)

Оно показывает, что величина σ, называемая средним нормальным напряжением, инвариантна по отношению к преобразованию системы координат.

Характерной особенностью напряженного состояния сплошной среды является наличие в каждой точке тела, по крайней мере, трех взаимно перпендикулярных площадок, на которых касательные напряжения σ_ii (i≠j) равны нулю. Направления нормалей к этим площадкам образуют главные направления, которые не зависят от исходной системы координат. Соответствующие напряжения σ_ii=σ_i называются главными нормальными напряжениями. Поэтому любое напряженное состояние в рассматриваемой точке может быть вызвано растяжением (сжатием) окрестности точки в трех взаимно перпендикулярных направлениях.

Главные нормальные напряжения могут быть найдены из следующего кубического уравнения:

корни этого уравнения могут быть только вещественными.

Так как решения этого уравнения х_i = σ_i (i=1,2, 3) не зависят от выбора системы координат, коэффициенты σ, А, В также не должны зависеть, т. е. они инвариантны. Это еще одно доказательство инвариантности среднего напряжения

(1.36)

Два других инварианта

(1.37)

физического смысла не имеют.

Рис. 8. Диаграмма Мора:

/, 2, 3 — окружности, координаты которых определяют нормальные и касательные напряжения на площадках, проходящих через главные оси 1, 2, 3 соответственно

Если главные направления совпадают с координатными осями (Ох_i), то формулы (1.31) — (1.34) упрощаются. Например, формулы (1.31) и (1.32) принимают вид

(1.38)

где α_i = cos (n, x_i).

Отсюда нетрудно получить, что напряжения р_п и τ_n могут лежать только внутри области, заштрихованной на рис.8. Это так называемая диаграмма Мора, дающая наглядное представление о напряжениях в различных сечениях, проходящих через данную точку. Здесь принята нумерация главных осей такой, чтобы выполнялись условия

σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ (1.39)

Практический интерес представляют сечения, проходящие через главные оси. На рис. 8 точкам какой-либо окружности 1, 2 или 3 отвечают площадки, содержащие соответствующую главную ось.

Если площадка содержит главную ось Ox_t и наклонена под углом θ к оси Ох₂, то из формул (1.38) получается

Эти напряжения соответствуют координатам точек окружности № 1 (см. рис. 8).

По аналогии можно записать формулы для напряжений, действующих на площадках, проходящих через две другие главные оси, иначе, для координат точек окружностей № 2 и 3 на рис. 8.

При θ = π/4, т. е. в сечениях, делящих пополам углы между главными плоскостями, касательные напряжения принимают экстремальные значения

называемые главными касательными напряжениями, а нормальные напряжения равны полусуммам

что соответствует координатам центров окружностей 1, 2 и 3 (см. рис. 8). Наибольшее из значений τ_i (i = 1, 2, 3) называется максимальным касательным напряжением и обозначается τ_max. Если условия (1.39) выполняются, то τ_max = τ₂.

Так как различные тела обладают различными механическими свойствами по отношению к сдвигу и равномерному всестороннему сжатию, удобно компоненты тензора напряжения представить в виде суммы

где S_ij —компоненты тензора, характеризующего касательные напряжения в данной точке и называемого девиатором напряжений.

Нормальные составляющие девиатора обозначают S_ii = σ_ii — σ, а касательные составляющие s_ij = σ_ij (i≠j).

Главные направления девиатора напряжений (S_ij) и тензора напряжений (σ_ij) совпадают, а главные значения s_i отличаются от σ_i, на величину среднего (гидростатического) давления и определяются кубическим уравнением

-s³ + A₁s+B₁=0,

все корни которого также вещественны.

Инварианты A₁ и В₁ легко получить из формул (1.37), если заменить σ_ij на s_ij и σ_i на s_i.

Неотрицательную величину

(1.40)

называют интенсивностью касательных напряжений.

Часто рассматривают приведенное напряжение или интенсивность напряжений

(1.41)

Величина Т равна нулю только в том случае, когда напряженное состояние есть состояние гидростатического давления.

Доказывается, что с погрешностью не более 7% имеет место равенство

Т ≈ 1,08 τ_max. Для характеристики вида напряженного состояния, подобно характеристике деформационного состояния, используется параметр, введенный Лоде и Надаи:

который изменяется в пределах от —1 до +1. Он указывает на взаимоотношение главных нормальных напряжений, в частности на положение точки σ₂ на диаграмме Мора. Для одних и тех же величин μ_σ диаграммы Мора подобны.

Для чистого растяжения элемента (σ₁>0, σ₂= σ₃ = 0) μ_σ= —1, для чистого сжатия (σ₁ = σ₂ = 0, σ ₃<0) μ_σ= 1, для сдвига (σ₁ >0, σ₂=0, σ ₃ = — σ₁) μ_σ= 0, для гидростатического давления (σ₁ = σ₂ = σ ₃) μ_σ не имеет смысла.

Источник и сток в пространстве.

Рассмотрим еще один важный для дальнейшего пример потенциального течения. Пусть

(**)

где , a Q = const или Q = Q (t). Ясно, что поверхностями равного потенциала j = const являются в этом случае поверхности r = const, т. е. концентрические сферы с центром в начале координат. Скорость v = grad j ортогональна к этим сферам, т. е. направлена по радиусам. Линии тока являются лучами, выходящими из начала координат.

Пусть Q > 0; тогда, так как grad j направлен в сторону роста j, то v направлена по r. Если Q < 0, то v направлена по - r (рис. 6). Величина скорости равна:

|(grad j_r)| = .

Скорость стремится к нулю при r ® ¥ и к бесконечности при r ® 0. Точки нуль и бесконечность являются критическими. При Q > 0 (1) имеем

вытекание жидкости из начала координат во всех направлениях — это течение называется точечным пространственным источником. При Q < 0 (2) — втекание жидкости в начало координат — сток. В первом случае в бесконечно удаленной точке имеем сток, а во втором — источник.

Рис. 6

Вычислим объем жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность сферы S некоторого радиуса r с центром в начале координат. Через элемент сферы ds за единицу времени протекает объем жидкости J ds, а через всю сферу

(расход жидкости)

(J можно вынести за знак интеграла, так как J = const на поверхности сферы). Заметим, что первые два равенства верны всегда, когда J = J (r) и J ортогональна к поверхности сферы S. Вычисленный объем жидкости не зависит от r. Таким образом, несмотря на то, что на разных сферах разного радиуса с центром в начале координат скорости разные, постоянная Q в потенциале j (**) является объемом жидкости протекающей за единицу времени через каждую такую сферу. Величина Q называется расходом или мощностью источника (стока).

Если Q = const, то источник или сток имеет постоянную мощность; если Q = Q (t) — то переменную. Если в некоторый момент времени Q меняется в начале координат, то мгновенно измеряется поле скоростей во всем пространстве. Сигналы изменение Q сразу сказываются на всем поле скоростей, что, конечно, не может иметь места в действительности. Возмущения должны распространяться с некоторой конечной скоростью. Поэтому рассмотренное поле скоростей является определенной идеализацией, которая может достаточно хорошо отражать действительность только в том случае, когда рассматриваются течения жидкости с большой скоростью распространения возмущений. Во многих случаях можно считать, что такой жидкостью является, например, вода, в которой скорость распространения слабых возмущений 1450 м/сек.

Раздел 2. (4) Уравнения механики сплошных сред

§ 1. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ

Один из фундаментальных законов ньютоновской механики материальных тел—это закон сохранения массы т любого индивидуального объема, т. е. объема, состоящего из одних и тех же частиц среды. Этот закон заключается в том, что для любого индивидуального объема т = const или в иной форме

В механике сплошных сред почти всегда вместо массы рассматривается плотность ρ.

Для малого объема верно равенство Δ m ≈ ρΔ V, а для конечного объема — равенство , где интеграл взят по подвижному индивидуальному объему V.

Тогда закон сохранения массы т принимает вид

(2.1)

Здесь не только плотность ρ — функция от координат точек пространства и времени, но и объем V зависит от t. Принимая это во внимание при вычислении производной в равенстве (2.1), несложно получить равенство

и так как оно справедливо для любого индивидуального объема, то получим первое основное дифференциальное уравнение механики сплошной среды

(2.2)

которое называется уравнением неразрывности в переменных Эйлера. Это уравнение накладывает ограничение на скорость точек сплошной среды и применяется при больших перемещениях точек среды.

Если воспользоваться формулой (1.5), то уравнение (2.2) можно переписать в виде

(2.3)

В цилиндрической системе координат (r, Θ, z) при осевой симметрии = (r, z) уравнение неразрывности принимает вид

Интересно, что уравнение (1.13) легко получить сразу, остава­ясь строго на точке зрения Эйлера. Для этого достаточно рассмотреть поток вектора ρ сквозь некоторую неподвижную замкнутую поверхность S произвольной формы. Нам известно [см. формулу (1.10)], что этот поток может быть представлен в виде

Он выражает массу среды, вытекающую за единицу времени из замкнутой поверхности S. Так как это повлечет за собой уменьшение плотности внутри S в единицу времени, равное (- dρ/dt), и соответственно изменение массы среды внутри S, равное

то

Отсюда следует уравнение (2.3).

Для несжимаемой жидкости dρ/dt (хотя ∂ρ/∂t≠ 0),уравнение неразрывности (2.2) приобретает вид

div =

В этом случае поток скорости через любую неподвижную замкнутую поверхность равен нулю, т. е. объем втекающей жидкости равен объему вытекающей. Применяя это свойство к замкнутой поверхности, образованной трубкой тока и ее нормаль­ными сечениями, получим

v₁S₁=v₂S₂.

Конечно, не существует сред, в строгом смысле действительно несжимаемых, однако весьма часто в инженерной практике предположение о постоянстве ρ приводит к значительному упрощению задачи и почти не вносит ошибки.

Для стационарных движений ∂ ρ/∂t = O, уравнение неразрыв­ности получает вид

div ρ = 0или

Уравнение (2.2) или (2.3) справедливо для любой однородной сплошной среды, когда нет поглощений массы, химических реакций, внутренней диффузии и других процессов, связанных с влиянием окружающих тел. Однако оно легко обобщается для многокомпонентных смесей или многофазных сред с учетом различного взаимного влияния компонентов (или фаз).

Для этого всякий индивидуальный объем можно представить как совокупность п континуумов, каждый из которых имеет свою плотность ρ_1, ρ₂,..., ρ_n и свою скорость , , …, . Если в смеси не происходит химических реакций и других процессов взаимных превращений, то для каждого компонента смеси должен выпол­няться закон сохранения массы

или

Если же в смеси происходят химические реакции, то массы компонентов т_i могут меняться. Пусть γ _i — изменение массы т_i i -го компонента смеси в единицу времени на единицу объема за счет химической реакции. Тогда уравнение неразрывности для компонента смеси можно записать в виде

или (2.4)

Согласно закону сохранения общей массы при химических реакциях имеем

(2.5)

Кроме п плотностей и п скоростей для компонентов смеси можно ввести одну плотность ρ и одну скорость смеси как целого.

Для этого достаточно просуммировать уравнения (2.4), учесть (2.5) и следующие равенства

В результате уравнение неразрывности примет обычный вид (2.3) относительно средних характеристик среды.

Все сказанное остается в силе, если вместо химических реакций в многокомпонентных смесях рассматриваются процессы взаимных поглощений (или выделений) в многофазных средах. В этом случае в формуле (2.4) γ _i — интенсивность поглощения i -той фазы среды.

§ 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ

Известно, что основным динамическим уравнением движения материальной точки является второй закон Ньютона ma = F, a широко используемыми следствиями этого закона являются сле­дующие общие теоремы движения системы материальных точек:

а) производная по времени от количества движения

системы равна сумме всех действующих на систему внешних сил

(2.6)

и называется уравнением количества движения или уравнением импульсов:

(2.6')

б) производная по времени от кинетического момента системы относительно какого-либо неподвижного центра О равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра, т. е.

(2.7)

называется уравнением моментов количества движения;

в) дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил, т. е.

dK=dA (2.8)

называется уравнением механической энергии или теоремой живых сил.

Для любого мысленно выделяемого индивидуального объема V сплошной среды, ограниченного поверхностью S, уравнения (2.6) — (2.8) остаются в силе, если динамические величины определить следующим образом:

, ,

соответственно количество движения, момент количества движе­ния и кинетическая энергия сплошной среды в объеме V;

соответственно сумма внешних объемных и поверхностных (непрерывно распределенных и сосредоточенных) сил к их момен­тов относительно некоторого неподвижного центра О, действую­щих на среду в объеме V;

сумма элементарных работ внешних и внутренних объемных и поверхностных сил.

В этом случае уравнения (2.6) и (2.7) являются основными постулируемыми динамическими соотношениями механики сплош­ной среды¹, подобно второму закону Ньютона в механике материальной точки. Они служат исходными для описания любых движений любой сплошной среды, в том числе для разрывных движений и ударных процессов. ¹ Эти уравнения для индивидуального объема сплошной среды не вытекают из подобных уравнений движения системы материальных точек, а являются самостоя­тельными.

Уравнение (4.8) одно из наиболее важных следствий уравнений (4.6) и (4.7) при непрерывных движениях в пространстве и времени.

При непрерывных движениях интегральная теорема движения (4.6) эквивалентна следующим трем дифференциальным уравне­ниям:

в цилиндрической системе координат при осевой симметрии

(2.9)

в декартовой системе координат

(i=1,2,3)

где проекции ускорения a_i вычисляют по формулам (1.6).

Эти уравнения, связывающие компоненты v_i вектора скорости и тензора напряжений { σ_ij }, являются основной системой дифференциальных уравнений движения для любой сплошной среды, представляющих собой уравнение баланса количества движения (или импульса) для бесконечно малого объема среды.

Если движения частиц происходят без ускорения (a_i =0) или они пренебрежимо малы, то уравнения (2.9) называются дифферен­циальными уравнениями равновесия.

При непрерывном движении сплошной среды теорема момен­тов количества движения (2.7) в дифференциальной форме сводится к выводу о том, что тензор напряжений симметричен, т. е. σ_ij = σ_ji. Если тензор напряжений симметричен, то уравнения моментов количества движения удовлетворяются тождественно.

Интегральная теорема живых сил (2.8) эквивалентна следую­щему дифференциальному уравнению:

dK=dW=dA^(e) (2.10)

где — соответственно изменение кинетической и потенциальной энергии бесконечно малого объема сплошной среды; —элементарная работа внешних объемных и поверхностных сил, действующих на бесконечно малый элемент объема среды.

Уравнение (2.10) является следствием уравнений движения (4.9) и представляет собой уравнение баланса механической энергии. В об­щем случае оно не является законом сохранения энергии, но его мож­но так трактовать тогда, когда механическая энергия тела не пере­ходит в тепловую или другие виды энергии. Общий закон сохранения энергии в этом случае распадается на два: закон сохранения механической энергии и закон сохранения энергии другого вида.

§ 3. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ)

Уравнения неразрывности и движения (2.3) и (2.9), справедли­вые при непрерывных движениях любой сплошной среды, недоста­точны для описания поведения конкретной среды, так как их число меньше числа входящих в них неизвестных (перемещения, дефор­мации, скорости, напряжения и др.). Это понятно и с другой точки зрения. Различные реальные тела при одних и тех же внешних усло­виях ведут себя по-разному, что никак не отражено в общих уравне­ниях (2.3) и (2.9). Поэтому говорят, что такая система уравнений не замкнута. Построить замкнутую систему уравнений — значит построить математическую модель изучаемой сплошной среды. Для этого к имеющимся уравнениям необходимо присоединить так называемые механические уравнения состояния, которые выра­жают связь между кинематическими и динамическими величинами.

Механические свойства реальных тел довольно сложны, и поэтому уравнения состояния устанавливаются на основании опытных данных. В настоящее время для многих тел установлены определенные механические свойства и соответствующие им уравнения состояния.

В силу характерных особенностей различают математические модели твердых деформируемых тел, жидкостей и газов, хотя такое деление в определенном смысле условно.

С позиций механики сплошной среды твердые тела, жидкости и газы различаются по действию, оказываемому на них внешними силами, именно по неодинаковой сопротивляемости изменению формы. Газы практически не сопротивляются изменению формы, капельные жидкости сопротивляются изменению формы значи­тельно слабее, чем твердые тела. Кроме того, они различаются по характеру и степени проявления упругих, вязких и пластических свойств, их влиянию на изучаемый процесс.

Все это находит отражение в уравнениях состояния, т. е. в зависимостях между компонентами тензоров напряжений σij и деформаций εij (или скорости деформаций ξij) или компонентами девиаторов напряжений sij и деформации eij (или скорости деформаций λij). По существу эти уравнения являются классифи­катором разделов механики сплошной среды.

При формулировке инженерных задач не следует стремиться к использованию уравнений состояния, описывающих все детали механического поведения тела под воздействием внешних сил. Наоборот, целесообразно выбрать простейшую математическую модель, которая отражала бы лишь самые существенные свойства. В противном случае решить задачу будет либо чрезвычайно сложно, либо вовсе невозможно.

Приведем наиболее известные уравне­ния состояния, используемые в гидромеханике и механике твердо­го деформируемого тела.

Следует обратить внимание, что структурное сходство этих моделей придает общность исходным уравнениям механики сплошной среды, несмотря на существенное различие в физиче­ском поведении разных тел.

Раздел 2. (4) Уравнения механики сплошных сред

§ 1. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ

Один из фундаментальных законов ньютоновской механики материальных тел—это закон сохранения массы т любого индивидуального объема, т. е. объема, состоящего из одних и тех же частиц среды. Этот закон заключается в том, что для любого индивидуального объема т = const или в иной форме

В механике сплошных сред почти всегда вместо массы рассматривается плотность ρ.

Для малого объема верно равенство Δ m ≈ ρΔ V, а для конечного объема — равенство , где интеграл взят по подвижному индивидуальному объему V.

Тогда закон сохранения массы т принимает вид

(2.1)

Здесь не только плотность ρ — функция от координат точек пространства и времени, но и объем V зависит от t. Принимая это во внимание при вычислении производной в равенстве (2.1), несложно получить равенство

и так как оно справедливо для любого индивидуального объема, то получим первое основное дифференциальное уравнение механики сплошной среды

(2.2)

которое называется уравнением неразрывности в переменных Эйлера. Это уравнение накладывает ограничение на скорость точек сплошной среды и применяется при больших перемещениях точек среды.

Если воспользоваться формулой (1.5), то уравнение (2.2) можно переписать в виде

(2.3)

В цилиндрической системе координат (r, Θ, z) при осевой симметрии = (r, z) уравнение неразрывности принимает вид

Интересно, что уравнение (1.13) легко получить сразу, остава­ясь строго на точке зрения Эйлера. Для этого достаточно рассмотреть поток вектора ρ сквозь некоторую неподвижную замкнутую поверхность S произвольной формы. Нам известно [см. формулу (1.10)], что этот поток может быть представлен в виде

Он выражает массу среды, вытекающую за единицу времени из замкнутой поверхности S. Так как это повлечет за собой уменьшение плотности внутри S в единицу времени, равное (- dρ/dt), и соответственно изменение массы среды внутри S, равное

то

Отсюда следует уравнение (2.3).

Для несжимаемой жидкости dρ/dt (хотя ∂ρ/∂t≠ 0),уравнение неразрывности (2.2) приобретает вид

div =

В этом случае поток скорости через любую неподвижную замкнутую поверхность равен нулю, т. е. объем втекающей жидкости равен объему вытекающей. Применяя это свойство к замкнутой поверхности, образованной трубкой тока и ее нормаль­ными сечениями, получим

v₁S₁=v₂S₂.

Конечно, не существует сред, в строгом смысле действительно несжимаемых, однако весьма часто в инженерной практике предположение о постоянстве ρ приводит к значительному упрощению задачи и почти не вносит ошибки.

Для стационарных движений ∂ ρ/∂t = O, уравнение неразрыв­ности получает вид

div ρ = 0или

Уравнение (2.2) или (2.3) справедливо для любой однородной сплошной среды, когда нет поглощений массы, химических реакций, внутренней диффузии и других процессов, связанных с влиянием окружающих тел. Однако оно легко обобщается для многокомпонентных смесей или многофазных сред с учетом различного взаимного влияния компонентов (или фаз).

Для этого всякий индивидуальный объем можно представить как совокупность п континуумов, каждый из которых имеет свою плотность ρ_1, ρ₂,..., ρ_n и свою скорость , , …, . Если в смеси не происходит химических реакций и других процессов взаимных превращений, то для каждого компонента смеси должен выпол­няться закон сохранения массы

или

Если же в смеси происходят химические реакции, то массы компонентов т_i могут меняться. Пусть γ _i — изменение массы т_i i -го компонента смеси в единицу времени на единицу объема за счет химической реакции. Тогда уравнение неразрывности для компонента смеси можно записать в виде

или (2.4)

Согласно закону сохранения общей массы при химических реакциях имеем

(2.5)

Кроме п плотностей и п скоростей для компонентов смеси можно ввести одну плотность ρ и одну скорость смеси как целого.

Для этого достаточно просуммировать уравнения (2.4), учесть (2.5) и следующие равенства

В результате уравнение неразрывности примет обычный вид (2.3) относительно средних характеристик среды.

Все сказанное остается в силе, если вместо химических реакций в многокомпонентных смесях рассматриваются процессы взаимных поглощений (или выделений) в многофазных средах. В этом случае в формуле (2.4) γ _i — интенсивность поглощения i -той фазы среды.

§ 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ

Известно, что основным динамическим уравнением движения материальной точки является второй закон Ньютона ma = F, a широко используемыми следствиями этого закона являются сле­дующие общие теоремы движения системы материальных точек:

а) производная по времени от количества движения

системы равна сумме всех действующих на систему внешних сил

(2.6)

и называется уравнением количества движения или уравнением импульсов:

(2.6')

б) производная по времени от кинетического момента системы относительно какого-либо неподвижного центра О равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра, т. е.

(2.7)

называется уравнением моментов количества движения;

в) дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил, т. е.

dK=dA (2.8)

называется уравнением механической энергии или теоремой живых сил.

Для любого мысленно выделяемого индивидуального объема V сплошной среды, ограниченного поверхностью S, уравнения (2.6) — (2.8) остаются в силе, если динамические величины определить следующим образом:

, ,

соответственно количество движения, момент количества движе­ния и кинетическая энергия сплошной среды в объеме V;

соответственно сумма внешних объемных и поверхностных (непрерывно распределенных и сосредоточенных) сил к их момен­тов относительно некоторого неподвижного центра О, действую­щих на среду в объеме V;

сумма элементарных работ внешних и внутренних объемных и поверхностных сил.

В этом случае уравнения (2.6) и (2.7) являются основными постулируемыми динамическими соотношениями механики сплош­ной среды¹, подобно второму закону Ньютона в механике материальной точки. Они служат исходными для описания любых движений любой сплошной среды, в том числе для разрывных движений и ударных процессов. ¹ Эти уравнения для индивидуального объема сплошной среды не вытекают из подобных уравнений движения системы материальных точек, а являются самостоя­тельными.

Уравнение (4.8) одно из наиболее важных следствий уравнений (4.6) и (4.7) при непрерывных движениях в пространстве и времени.

При непрерывных движениях интегральная теорема движения (4.6) эквивалентна следующим трем дифференциальным уравне­ниям:

в цилиндрической системе координат при осевой симметрии

(2.9)

в декартовой системе координат

(i=1,2,3)

где проекции ускорения a_i вычисляют по формулам (1.6).

Эти уравнения, связывающие компоненты v_i вектора скорости и тензора напряжений { σ_ij }, являются основной системой дифференциальных уравнений движения для любой сплошной среды, представляющих собой уравнение баланса количества движения (или импульса) для бесконечно малого объема среды.

Если движения частиц происходят без ускорения (a_i =0) или они пренебрежимо малы, то уравнения (2.9) называются дифферен­циальными уравнениями равновесия.

При непрерывном движении сплошной среды теорема момен­тов количества движения (2.7) в дифференциальной форме сводится к выводу о том, что тензор напряжений симметричен, т. е. σ_ij = σ_ji. Если тензор напряжений симметричен, то уравнения моментов количества движения удовлетворяются тождественно.

Интегральная теорема живых сил (2.8) эквивалентна следую­щему дифференциальному уравнению:

dK=dW=dA^(e) (2.10)

где — соответственно изменение кинетической и потенциальной энергии бесконечно малого объема сплошной среды; —элементарная работа внешних объемных и поверхностных сил, действующих на бесконечно малый элемент объема среды.

Уравнение (2.10) является следствием уравнений движения (4.9) и представляет собой уравнение баланса механической энергии. В об­щем случае оно не является законом сохранения энергии, но его мож­но так трактовать тогда, когда механическая энергия тела не пере­ходит в тепловую или другие виды энергии. Общий закон сохранения энергии в этом случае распадается на два: закон сохранения механической энергии и закон сохранения энергии другого вида.

§ 3. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ)

Уравнения неразрывности и движения (2.3) и (2.9), справедли­вые при непрерывных движениях любой сплошной среды, недоста­точны для описания поведения конкретной среды, так как их число меньше числа входящих в них неизвестных (перемещения, дефор­мации, скорости, напряжения и др.). Это понятно и с другой точки зрения. Различные реальные тела при одних и тех же внешних усло­виях ведут себя по-разному, что никак не отражено в общих уравне­ниях (2.3) и (2.9). Поэтому говорят, что такая система уравнений не замкнута. Построить замкнутую систему уравнений — значит построить математическую модель изучаемой сплошной среды. Для этого к имеющимся уравнениям необходимо присоединить так называемые механические уравнения состояния, которые выра­жают связь между кинематическими и динамическими величинами.

Механические свойства реальных тел довольно сложны, и поэтому уравнения состояния устанавливаются на основании опытных данных. В настоящее время для многих тел установлены определенные механические свойства и соответствующие им уравнения состояния.

В силу характерных особенностей различают математические модели твердых деформируемых тел, жидкостей и газов, хотя такое деление в определенном смысле условно.

С позиций механики сплошной среды твердые тела, жидкости и газы различаются по действию, оказываемому на них внешними силами, именно по неодинаковой сопротивляемости изменению формы. Газы практически не сопротивляются изменению формы, капельные жидкости сопротивляются изменению формы значи­тельно слабее, чем твердые тела. Кроме того, они различаются по характеру и степени проявления упругих, вязких и пластических свойств, их влиянию на изучаемый процесс.

Все это находит отражение в уравнениях состояния, т. е. в зависимостях между компонентами тензоров напряжений σij и деформаций εij (или скорости деформаций ξij) или компонентами девиаторов напряжений sij и деформации eij (или скорости деформаций λij). По существу эти уравнения являются классифи­катором разделов механики сплошной среды.

При формулировке инженерных задач не следует стремиться к использованию уравнений состояния, описывающих все детали механического поведения тела под воздействием внешних сил. Наоборот, целесообразно выбрать простейшую математическую модель, которая отражала бы лишь самые существенные свойства. В противном случае решить задачу будет либо чрезвычайно сложно, либо вовсе невозможно.

Приведем наиболее известные уравне­ния состояния, используемые в гидромеханике и механике твердо­го деформируемого тела.

Следует обратить внимание, что структурное сходство этих моделей придает общность исходным уравнениям механики сплошной среды, несмотря на существенное различие в физиче­ском поведении разных тел.

§ 4. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ГИДРОМЕХАНИКИ

1. Модель идеальной жидкости – это простейшая механическая модель сплошной среды, для которой характерно отсутст­вие сопротивления (сил трения) при скольжении одного слоя жидкости по другому, отдельные части взаимодействуют только в виде нормального давления, т. е. в любой точке идеальной жидкости касательные напряжения , а нормальные напряжения , или через компоненты девиатора напряжений

.

Уравнением состояния для этой жидкости служит зависимость плотности ρ от давления р и температуры Т:

(2.11)

Для идеального газа приемлемо уравнение Клапейрона — Менделеева

Если плотность жидкости — функция только давления , то жидкость называют баротропной.

Когда имеет место степенная зависимость (с и n -постоянные), то говорят, что движение происходит при политропическом процессе.

Для капельных жидкостей сжимаемость чрезвычайно мала, и в большом диапазоне изменения давления принимается линейная зависимость

где ρ₀ - плотность, соответствующая давлению р₀; К_ж - модуль объемного сжатия.

Порядок модуля объемного сжатия жидкостей равен 10⁴ n МПа.

Экспериментальные данные и общие физические соображения показывают, что любая среда при очень больших температурах и давлениях практически обладает свойствами идеальной жидкости.

В нормальных условиях модель идеальной жидкости широко используется при изучении движения многих жидкостей и газов вдали от твердых границ.

Одно из наиболее известных уравнений движения идеальной жидкости — закон Бернулли

который гласит, что при установившемся движении несжимаемой идеальной жидкости сумма геометрической (z),скоростной (v²/2g) и пьезометрической (p/ρg) высот вдоль линии тока остается величиной постоянной.

2. Модель - вязкой ньютоновской жидкости - следую­щая по сложности, которую используют, когда силами трения или напряжениями сдви­ги при движении жидкости пренебречь нельзя, Уравнениями состояния для такой жидкости, кроме уравнения вида (2.11), будет

(2.12)

т.е. прямо пропорциональная зависимость между компонентами девиатора напряжений и скоростей деформаций. Учитывая динамические величины и элементы теории напряжений, имеем равносильные уравнения, выраженные через компоненты тензоров напряжений и скоростей деформаций:

При плоском слоистом течении жидкости вдоль оси Оx₁, когда v₁ =v₁(x₁, х₂), v₂ = v₃ = 0, нормальные и касательные напряжения равны:

Если, кроме того, жидкость несжимаемая и ско­рость v₁ не зависит от х₁, то уравнение состояния имеет простейший вид

Коэффициент пропорциональности μ называется коэффициен­том вязкости или динамической вязкостью жидкости. Размерность этого коэффициента, согласно соотношениям (2.12), будет

В системе СИ единицей вязкости является паскаль-секунда . Величину в 10 раз меньшую называют пуазом (по имени французского исследователя Пуазейля).

Динамическая вязкость воды при 20° С равна 10^-3 Па·с.

Иногда пользуются отношением μ/ρ, которое называется кинематической вязкостью и обозначается буквой v.

Размерность этой величины м²/с.

Для газов и капельных жидкостей динамическая и кинематическая вязкости слабо зависят от давления, но сильно от температуры. Как видно из данных, приведенных ниже, оба коэффициента вязкости воды убывают с повышением температуры, а коэффициенты вязкости воздуха возрастают. Эта закономерность свойственна всем жидкостям и газам.

Рис.10.Характерные зависимости напряжения сдвига от скорости деформации сдвига:

1 – псевдопластичная

2 – дилатантная жидкости;

3 – ньютоновская жидкость;

4 – бингамовский пластик

Т ^ОС
вода
10^3µ, Па∙с	1,792	1,005	0,656	0,469	0,357	0,284
10^6ν, м/с	1,792	1,007	0,661	0,477	0,367	0,296
воздух
10^5µ, Па∙с	1,709	1,808	1,904	1,997	2,088	2,175
10^4ν, м/с	0,132	0,15	0,169	0,188	0,209	0,23

Применяются различные эмпирические формулы зависимости вязкости газов и жидкостей от температуры, но из-за их сложности и малой общности предпочтительно пользоваться таблицами.

Свойствами ньютоновских жидкостей, описываемых уравнениями (2.12), обладает большинство чистых жидкостей и газов. Однако многие растворы, в том числе буровые и тампонажные, проявляют свойства, отличные от свойств ньютоновских жидкостей. Вязкость таких неньютоновских жидкостей зависит не только от температуры и давления, но и от скорости сдвига, деформации, времени, характера движения.

3. Модель неньютоновского поведения жидкостей. Их основной признак заключается в нелинейной зависимости между компонентами девиаторов напряжений и скоростей деформаций.

На рис. 10 показаны две характерные кривые зависимости напряжения сдвига от скорости деформации сдвига для неньютоновских жидкостей при плоском прямолинейном установившемся движении вдоль оси Ох₁. Здесь же для сопоставления штрихпунктиром показана линейная зависимость для ньютоновской жидкости.

Поведение жидкости, описываемое кривой 1, называется псев­допластичным, а кривой 2 — дилатантным. Предлагалось много различных вариантов аппроксимации этих кривых. Но наиболее широкое применение получили двухпараметрические аппроксимации:

а) модель Шведова — Бингама

(2.13)

используемая для псевдопластичных жидкостей;

б) модель Освальда — Вейля, или степенная модель,

(2.14)

используемая для обоих типов жидкостей, где τ₀ — предельное (или динамическое) напряжение сдвига; η — пластическая (или структурная) вязкость; k — показатель консистенции; п — показа­тель неньютоновского поведения: при п < 1 жидкость псевдо­пластичная, при п> 1 — дилатантная.

Между параметрами моделей (2.13) и (2.14) легко устанавли­вается следующая связь:

где — скорость деформации сдвига, выше которой зависимость от практически линейная (см. рис. 10).

Так как в с

Дата добавления: 2015-07-20