Определенный интеграл и его свойства.

Обобщаем решения задач. Пусть на [a;b] задана f(x). Разобьем отрезок на n частей точками. На каждой части выберем точку Мк. Вычислим сумму и назовем ее интегральной. Таких сумм можно составить сколько угодно (изменяя способ разбиения и выбор токи Мк на каждом участке разбиения). Вычислим предел интегральной суммы при nà и максимальном x_k à0 . Если указанный предел существует независимо от способа разбиения [a;b] на части и выбора Мк на каждом участке разбиения, а только в зависимости от f(x) и длины отрезка [a;b], то такой предел назовем определенным интегралом и обозначим . В этом определении: - символ определенного интеграла; f(x) – подынтегральная функция; а – нижний предел интегрирования; b – верхний предел интегрирования; х (под знаком d) – аргумент интегрирования.

Теорема существования. Если f(x) ограничена на [a;b] и непрерывна на нем всюду кроме конечного числа точек разрыва 1-го рода, то определенный интеграл существует.

Основные свойства ОИ.

1. = f_i(x)dx. Док. Следует из свойства предела.

2. f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx.. Достаточно в качестве одной из точек

разбиения выбрать точку С.

3. Сf(x)dx=С f(x)dx. Т.к. константу можно выносить за знак предела.

4. Сdx=С(b-a). Трапеция вырождается в прямоугольник.

5. f(x)dx=- f(x)dx. Т.к. точки разбиения только поменяют порядок.

6. f(x)dx=0. Т.к. длина отрезка равна 0.

7. f(x)dx>0, если f(x) 0 и f(x)dx<0, если f(x) 0. Док. Пусть f(x) 0

на отрезке [a;b] и m>0 - минимум f(x). Тогда имеем

m >m(b-a)>0 откуда и следует нужное. Аналогично и для случая f(x) 0. Тогда существует М<0 – максимум f(x). Тогда

М =М(b-a)<0.

8. Неравенство f(x) ф(x) можно интегрировать на [a;b], причем

f(x)dx< ф(x)dx, если f(x) не равна тождественно ф(х).

Док. На основании С7 имеем (f(x)-ф(х))dx>0, т.к. f(x) ф(x). По С1

(f(x)-ф(х))dx=f(x)dx- ф(x)dx>0, откуда и следует требуемое.

9. f(x)dx . Док. В самом деле - f(x) ю тогда по С8 и С2 получаем - dx f(x) dx dx, откуда и следует требуемое.

10. Теорема о среднем. Если f(x) и ф(х) непрерывны на [a;b] и хотя бы

одна из них знакопостоянна, например, ф(х), то на [a;b] найдется хотя бы одна точка С, для которой будет верным равенство f(x)ф(х)dx=f(C) ф(х)dx.

Док. Пусть м и М – соответственно минимум и максимум для f(x). Тогда верно m f(x) M. А также верно mф(х) f(x) ф(х) Mф(х). После интегрирования получаем m ф(х)dx< f(x)ф(х)dx< M ф(х)dx. В любом случае f(x)ф(х)dx=r ф(х)dx, где m<r<M. В силу свойств непрерывной на [a;b] функции f(x) на этом отрезке всегда найдется такая С, в которой r=f (C), что и требовалось доказать.

Частный случай. При ф(х)=1 везде на [a;b] получаем f(x)dx =f(C)(b-a).

Этот случай используют для оценки значения ОИ без его вычисления. Формула говорит о том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с тем же основанием. Иначе говоря, криволинейная трапеция квадрируема (имеет площадь).

Дата добавления: 2015-07-26