Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Система трех линейных уравнений

Читайте также:
  1. D. ЛИМФАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
  2. IX. Решить систему нелинейных уравнений
  3. Prism – система комунікації відеоджерел інформації, що дає змогу ділерові контролювати кілька екранів.
  4. Quot;СИСТЕМА" В ЭТНОЛОГИИ 1 страница
  5. Quot;СИСТЕМА" В ЭТНОЛОГИИ 2 страница
  6. Quot;СИСТЕМА" В ЭТНОЛОГИИ 3 страница
  7. Quot;СИСТЕМА" В ЭТНОЛОГИИ 4 страница

Рассмотрим систему уравнений следующего вида:

(1)

Здесь x, y и z ­ неизвестные, aij, hi заданные числа. Упорядоченная тройка чисел x0, y0 и z0 называется решением системы (1) если подстановка этих чисел в систему обращает все три уравнения в тождества. Теорема Крамера остается справедливой и для систем третьего и более высоких порядков. (Доказательство см. ниже).

Формулы Крамера для системы (1) приобретают вид,

, (2)

Где,

Если определитель системы уравнений (1) то существует единственное решение системы, определяемое формулами Крамера (2).

Проверка существования решения системы (1) осуществляется подстановкой полученных решений в уравнения системы.

Геометрический смысл: каждое из уравнений системы (1) является уравнением плоскости в пространстве, а три числа x0, y0 и z0, являющиеся решением системы, суть координаты точки пересечения этих плоскостей.

Теорема и Доказательство:

Система уравнений имеет вид,

(1)

Здесь x и y - неизвестные, а коэффициенты aij и свободные члены h1 и h2 - заданные числа.

Теорема Крамера:

Если определитель системы (1) отличен от нуля, то существует и притом единственное, решение этой системы, определяемое формулами Крамера (6)

Если определитель системы (1) =0, то система либо вовсе не имеет решений (если хотя бы один из определителей x или y отличен от нуля), либо имеет бесконечно много решений (в случае = x= y=0).

Решением системы является пара чисел (x0,y0), подстановка которых в уравнения системы (1) обращает эти уравнения в тождества.

Умножив первое уравнение на a22, а второе на – a12 и сложив полученные выражения, получим

(2)

Аналогично, умножая уравнения системы на – a21 и a11 и складывая полученные выражения, будем иметь,

(3)

Введем следующие обозначения:

(4)

В новых обозначениях выражения (2) и (3) будут иметь вид:

(5)

Определитель принято называть определителем системы. Из соотношений (5) просто получаются формулы Крамера

(6)

Могут представиться два случая:

1) определитель системы отличен от нуля.

2) определитель равен нулю.

 

В случае решение системы существует и единственно, так как система уравнений (5) является следствием системы (1).

Формулы (6) позволяют легко найти значения x0 и y0.

Рассмотрим случай . Здесь имеют место два подслучая:

а) хотя бы один из определителей x или y отличен от нуля,

б) оба определителя x и y равны нулю.

 

В подслучае а) хотя бы одно из равенств (6) не имеет смысла, и система (5), а вместе с ней и система (1) не имеет решений.

В подслучае б) система (1) имеет бесконечно много решений.

В самом деле, из равенства = x= y=0 заключаем, что

Это означает, что второе уравнение системы (1) является следствием первого и может быть отброшено. Но линейное уравнение вида a11x+a12y=h1 имеет бесконечно много решений, так как задав значение x, из уравнения можно найти соответствующее значение y, и таких пар чисел существует бесконечно много.

Геометрический смысл: уравнения системы (1) являются уравнениями прямых на плоскости. Числа x0 и y0, определяемые по формулам Крамера (6) при являются координатами точки пересечения этих прямых.

 

32. Система 3-х однородных уравнений с 3-мя неизвестными. Случаи и . Геометрическая интерпретация.

(1.31)

Очевидно, что эта система всегда имеет тривиальное решение (проверяется подстановкой в уравнения). Когда определитель системы тривиальное решение является единственным

Докажем, что при система имеет бесконечно много решений.

Если все миноры второго порядка в определителе

(1.32)

Равны нулю, то соответствующие коэффициенты в уравнениях системы (1.31) пропорциональны. Следовательно, второе и третье уравнения системы являются следствиями первого и могут быть отброшены, а оставшееся единственное уравнение имеет бесконечно много решений (как отмечалось в предыдущем пункте).

Осталось рассмотреть случай, когда хотя бы один минор второго порядка в определителе (1.32) отличен от нуля. Не ограничивая общности, будем считать, что

.

Тогда, как установлено в предыдущем пункте, система первых двух уравнений будет иметь бесконечное множество решений, определяемых формулами (1.30).

Подставим эти решения в третье уравнение и убедимся, что оно обращается в тождество,

= ,

так как определитель системы равен нулю по условию.

Тем самым доказано, что однородная система уравнений (1.31) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю.

 

 

 

35)Парабола – определение. Вывод канонического уравнения. Директрисы параболы. Полярное уравнение, графическое изображение.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние от некоторой точки , именуемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, именуемой директрисой.

Уравнение директрисы

Для вывода уравнения параболы точку поместим на оси

на расстоянии, равном вправо от начала координат, а директрису проведем параллельно оси на таком же расстоянии влево от начала координат (Рис.9.3.)

В соответствии с определением параболы

(9.9)

Подставив и в равенство и возведя во вторую степень левую и правую части равенства, получим:

. (9.10)

После упрощений в выражении (9.10), получим каноническое уравнение параболы:

. (9.11)

Полярное уравнение


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 74 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Нормальное уравнение прямой на плоскости. Нормирующий множитель. Отклонение точки от прямой. | Пучок прямых. Задача о нахождении прямой, принадлежащей пучку и проходящей через заданную точку. | Пучок прямых. Задача о нахождении прямой, принадлежащей пучку и а) параллельной данной прямой, б) перпендикулярной данной прямой. | Уравнение первой степени и плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор. | Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки, не лежащие на одной прямой. | Отклонение точки от плоскости. | Пучок и связка плоскостей. Уравнение пучка плоскостей. Основные задачи, решаемые с применением уравнения пучка. | Прямая в пространстве. Каноническое уравнение прямой. Приведение к каноническому виду уравнения прямой, заданной пересечением 2-х плоскостей. | Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки в пространстве. Параметрическое уравнение прямой. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости. | Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Плоскость| ЭТАП. Краткая характеристика критериев и критериальных показателей, с помощью которых они будут измерены.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.012 сек.)