Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Перевод натуральных чисел из одной позиционной системы счисления в другую

Читайте также:
  1. Be bold, be bold, but not too bold (будь смелой, но не слишком смелой), Lest that your heart’s blood should run cold (чтобы твоего сердца кровь не бежала холодной).
  2. Gerund переводится на русский язык существительным, деепричастием, инфинитивом или целым предложением.
  3. Host BusПредназначена для скоростной передачи данных (64 разряда) и сигналов управления между процессором и остальными компонентами системы.
  4. I этап реформы банковской системы (подготовительный)приходится на 1988–1990 гг.
  5. I. Методы исследования в акушерстве. Организация системы акушерской и перинатальной помощи.
  6. I. РАСТВОРЫ И ДИСПЕРСНЫЕ СИСТЕМЫ
  7. III Виды ставок, порядок исчисления акцизов. Налоговый период, сроки уплаты

Теорема. Любое натуральное число т может быть записано в системе счисления с основанием р, причем запись эта единственная
(p Î N, р > 1).

Доказательство. Итак, необходимо представить число т в виде , где коэффициентами

являются цифрами р -ичной системы счисления. Рассмотрим последовательность чисел: р, р 2, р 3,..., рn, рn +1, ....

Среди членов этой последовательности найдем число р с наибольшим показателем степени, которое не превышает рассматриваемое натуральное число т. Пусть это будет рn, тогда рnm < pn +1.

1) Так как рnm, то т можно разделить на рn с остатком. Тогда получим: т = рn an + mn. Частное an и остаток mn всегда существуют и притом единственные, очевидно 0 < an < р и 0 ≤ тn < рn.

2) Полученный остаток тn разделим на pn -1 с остатком. Тогда получим: mn = рn -1 · an -1 + mn -1, очевидно 0 ≤ aп -1 < р и 0 ≤ тп -1 < рп -1.

3) Вновь найденный остаток тп -1 разделим на рп -2 с остатком. Тогда получим: mn -1 = рn -2 · an -2 + mn -2; 0 ≤ an -2< р и 0 ≤ тn -2< рn -2.

Процесс деления полученного остатка на соответствующую степень основания р аналогичным образом продолжим до конца.

n) На последнем шаге получим:

m 2= р · a 1+ m 1, 0 ≤ a 1< р и 0 ≤ т 1 < р. Обозначим т 1 = а 0.

Таким образом, подставляя значения остатков из выписанных выше равенств 1), 2), 3), …, n) получим: т = an · рn + an -1· рn -1 +... +
+ a 1 p + а 0, причем 0 ≤ ai < р (i = 0, 1, 2,..., n), или 0 ≤ aiр – 1, an ≠ 0.

Мы доказали, что любое натуральное число может быть представлено в р -ичной системе счисления, причем единственным образом.

П р и м е р 1. Запишите в восьмеричной системе счисления число 543710.

Перевод этого числа выполним, как было доказано в теореме.

Рассмотрим последовательность чисел: 8, 82, 83, 84, 85, …

(81 = 8, 82 = 64, 83=512, 84 = 4096, 85 = 32768).

Заметим, что 4096 < 5437 < 32768. Разделим 5437 на 84 с остатком. Тогда получим: 5437 = 1 · 84 + 1341. Продолжим деление, как описывалось выше:

1341 = 2 · 83 + 317;

317 = 4 · 82 + 61;

61 = 7 · 8 + 5;

Т.е. 5437 = 1 · 84 + 2 · 83 + 4 · 82 + 7 · 8 + 5;

543710 = 124758

На практике вычисления обычно ведутся в обратном порядке.

Рассмотрим снова тоже число 5437 и разделим его на 8.

5437 8

5 679

5437 = 8 · 679 + 5. Это означает, что наше число, кроме некоторого количества восьмерок, содержит еще 5 единиц, т.е. последняя цифра восьмеричной записи есть 5. Для получения следующей цифры нужно полученное частное снова разделить на 8.

Результат выполненных операций можно представить в таком виде:

5437 =8 · 679 + 5

5437 = 8(8 · 84 + 7) + 5

5437 = 8(8(8 · 10 + 4) + 7) + 5

5437 = 8(8(8(1 · 8 + 2) + 4) + 7) + 5 =

= 1 · 84 + 2 · 83 + 4 · 82 + 7 · 8 + 5.

Коротко решение этого примера записывается так:

 


П р и м е р 2. Запишите в двоичной системе счисления число 4710. Используем тот же прием, здесь р = 2.

 

 


Общее правило можно сформулировать так.

При переводе десятичного числа в р -ичную систему счисления цифрами, представляющими число в р -ичной системе счисления, будут остатки от последовательного деления этого числа и получаемых частных на р, записанные в обратном порядке.

Перевод чисел из р -ичной системы счисления в десятичную прост и основан на том, что запись натурального числа в любой позиционной системе счисления означает представление этого числа в виде суммы степеней основания с различными коэффициентами, меньшими основания. Например:

63758 = 6 · 83 + 3 · 82 + 7 · 8 + 5 = 332510

111012 = 24 + 23 + 22 + 1 = 16 + 8 + 4+1= 2910.


Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 105 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Деление с остатком | Понятие целого неотрицательного числа | Сравнение целых неотрицательных чисел | Сложение целых неотрицательных чисел | Вычитание целых неотрицательных чисел | Теоретико-множественное истолкование умножения | Теоретико-множественное истолкование деления и деления с остатком | Понятие числа | Действия над натуральными числами – мерами величин | Выбора действий и наглядной иллюстрацией условия задачи |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Позиционные системы счисления| Восьмеричная система счисления

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)