Периодические функции

Периодические процессы, встречающиеся в природе, технике, описываются периодическими функциями.

Функция называется периодической с периодом (или ─ периодической), если для всех значений выполняется равенство

.

Отметим некоторые свойства периодической функции.

1. Если функция есть периодическая с периодом , то функция является тоже периодической с периодом .

2. Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих период , есть периодическая функция с периодом .

3. Если периодическая функция с периодом интегрируема на любом конечном отрезке, то при любых и

. В частности, .

Простейшими периодическими функциями являются простые гармоники

, (7.1)

где ─ амплитуда, ─ частота, ─ начальная фаза. В механике функция (7.1) описывает гармонические колебания точки, у которой период колебаний равен . Проведём преобразование этой функции:

,

где , . Таким образом, простая гармоника имеет вид:

.

При наложении простых гармоник получается сложное гармоническое

колебание, которое описывается функцией вида

или .

Период функции есть любое число, период первой гармоники равен , второй ─ , третьей ─ , k -й ─ . Следовательно, сложное колебание имеет период .

При неограниченном возрастании получим ряд, который обычно записывают в виде

и называют тригонометрическим рядом; постоянные числа называют коэффициентами ряда. Свободный член ряда записан в виде для единообразия получающихся в дальнейшем формул. Если ряд сходится, то его сумма является -периодической функцией.

Возникает вопрос: можно ли произвольную периодическую функцию представить в виде суммы простых гармоник? Оказывается, что если взять конечную сумму гармоник, то для большинства функций этого сделать нельзя, но если рассмотреть сумму бесконечного числа гармоник, то эта задача может быть решена для многих периодических функций.

---

Дата добавления: 2015-07-17