Уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальные уравнения вида

Дифференциальные уравнения вида

или (2.5)

называют уравнениями с разделяющимися переменными. Умножением на иделением на уравнение приводится к виду

, , (2.6)

в котором переменная находится в одной части равенства, а переменная – в другой, т.е. переменные разделены. Интегрируя уравнение (2.6), получим , которое задаёт решение в неявном виде.

Уравнение, записанное в виде

,

также будет уравнением с разделяющимися переменными. Перенесём второе слагаемое в правую часть:

,

разделим на выражение и получим уравнение , в котором переменные x и y разделены.

Пример 2.1. Решить уравнение , .

Решение. Данное уравнение есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Представим его в виде или , откуда . Переменные разделены, интегрируем: .

Найдем интеграл, стоящий в левой части,

.

Возвращаясь к предыдущему равенству, получаем

, , , .

Обозначив произвольную постоянную через и выразив из последнего равенства, получим общее решение уравнения . При делении на могли быть потеряны решения и . Очевидно, что они удовлетворяют уравнению.

Пример 2.2. Найти общее решение уравнения , .

Решение. Делим обе части уравнения на : .

Интегрируем: т.е. .

Решение получено в неявном виде. Оно является общим интегралом уравнения.

Пример 2.3. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условию .

Решение. Имеем или . Интегрируем:

, т.е. .

Отсюда − общее решение дифференциального уравнения. Оно представляет собой семейство гипербол. Выделим одну из них, которая проходит через точку (3;1). Подставим , в общее решение: , . Следовательно, − искомое решение дифференциального уравнения.

Дата добавления: 2015-07-17