Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Ознака порівняння.

Читайте также:
  1. В якій відповіді названа ознака об’єктивної сторони злочину?
  2. В якій відповіді названа ознака об’єктивної сторони складу злочину?
  3. ВИДИ НЕПЕРІОДИЧНИХ ВИДАНЬ ЗА ІНФОРМАЦІЙНИМИ ОЗНАКАМИ
  4. Інтегральна ознака Коші
  5. Класифікація військових перевезень по їхнім ознакам
  6. Класифікація і асортимент хлібобулочних виробів. Хлібобулочні вироби класифікуються за декількома ознаками.
  7. Міжнародний рух товарів як ознака світового ринку

Теорема. Нехай задано два ряди. (1) і (2), причому члени першого ряду не перевищують відповідних членів другого ряду, тобто для довільних n

. (3)

Тоді:

1) із збіжності ряду (2) випливає збіжність ряду (1);

2) із розбіжності ряду (1) випливає розбіжність ряду (2).

Доведення. 1) Нехай ряд (2) збіжний, тобто існує границя

.

Згідно з нерівністю (3) для часткових сум ряду (1) маємо нерівність

.

Із додатності рядів очевидно, що часткові суми монотонно зростають. Скористаємось ознакою існування границь: якщо послідовність монотонно зростає і обмежена зверху, то вона має границю.

Поскільки і , то існує . Отже, ряд (1) збіжний.

2) Якщо ж додатний ряд (1) розбіжний, то при , а, значить, із нерівності , тобто ряд (2) теж розбіжний.

Приклади. Дослідити збіжність рядів.

1. .

2. .

3. .

4. .

Розв’язання. 1. Поскільки , , …, , , … то із збіжності ряду (див. ряд (5) в 1.) за ознакою порівняння випливає збіжність ряду

,

приписавши в останньому ряді спереду доданок 1, отримаємо початковий ряд , який збігається.

2. Поскільки а праві частини цих нерівностей є членами гармонічного ряду , який розбігається, то за ознакою порівняння ряд теж розбігається.

3. Із нерівності і збіжності отримуємо збіжність ряду .

4. Аналогічно попередньому маємо , якщо . Отже, ряд теж збіжний при .

В більшості випадків зручнішою може бути гранична ознака порівняння, яку подаємо без доведення.

Теорема (гранична ознака порівняння). Нехай задані ряди (1) і (2).

Якщо існує скінчена границя відношення загальних членів, відмінна від 0, тобто

,

то обидва ряди ведуть себе однаково, тобто або одночасно збігаються або одночасно розбігаються.

Приклади. Дослідити збіжність ряду.

1. . 2. .

Розв’язання. 1. З теорії границь відомо, що при многочлен веде себе так, як його найстарший доданок, тобто при . Тому , а . Візьмемо , а .

Розглянемо

.

Відповідно теоремі обидва ряди і збіжні, бо збіжність другого ряду вже доведена.

2. Поскільки при , а , то .

Тому знаходимо границю

.

Ряд - є гармонічним, розбіжним, тому розбіжним є і даний ряд.


Дата добавления: 2015-07-17; просмотров: 190 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Организаторы муниципального этапа акции | Числа називаються відповідно першим, другим і т.д. членами ряду, - n-ний або загальний член ряду. Він, як правило, задається формулою відносно натурального аргумента n. | Означення збіжності ряду. Сума ряду. Необхідна умова збіжності ряду | Інтегральна ознака Коші | Перепишемо в іншій формі | Приклади. | Нехай задана послідовність чисел | Відповіді: 1. . 2. . 3. . | Деякі застосування рядів | Деякі властивості, пов’язані з визначеними інегралами |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Властивості збіжних рядів| Ознака Даламбера

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)