Числа називаються відповідно першим, другим і т.д. членами ряду, - n-ний або загальний член ряду. Він, як правило, задається формулою відносно натурального аргумента n.

Числові ряди. Приклади рядів

Нехай задана нескінченна послідовність чисел

Означення. Вираз вигляду

(1)

називається числовим рядом.

Числа називаються відповідно першим, другим і т.д. членами ряду, - n-ний або загальний член ряду. Він, як правило, задається формулою відносно натурального аргумента n.

Як бачимо з виразу (1), ряд – це нескінченна сума доданків.

Розглянемо приклади окремих рядів.

1. Нехай задана послідовність чисел

які утворюють геометричну прогресію. Відомо, що сума n членів геометричної прогресії знаходиться за формулою

. (2)

Якщо знаменник прогресії , то прогресія спадна, і сума нескінченного числа її членів є не що інше, як ряд

, (3)

і знаходиться, як границя

, (4)

тобто послідовність, так званих часткових сум має своєю сумою число , яке називається сумою ряду (3).

Нагадаємо, що за допомогою ряду (3) можна перетворити нескінченний періодичний десятковий дріб у звичайний. Наприклад,

.

За формулою (4) сума цього ряду буде дорівнювати

.

Отже, .

2. Розглянемо ще ряд

. (5)

Знайдемо його часткові суми

Тут видно, що чисельники співпадають з номерами відповідних сум, а знаменники на одиницю більші тобто за індукцією маємо

.

Тоді по аналогії з попереднім прикладом, знайдемо границю часткової суми

,

яку вважають сумою ряду (5).

Зауважимо, що можна було б знайти як розклад дробу на прості за допомогою методу невизначених коефіцієнтів:

,

тоді

.

3. Нехай дано ряд

. (6)

Знайдемо спочатку часткові суми

Тепер знайдемо границю , тобто

Сума ряду (6) нескінченна.

4. Число е. Одним із застосувань рядів є наближене обчислення значень функцій за допомогою рядів. Має місце, наприклад, така рівність

, (7)

мова про яку йтиме в подальшому викладі, а зараз покажемо, як можна наближено обчислити значення числа е, поклавши в (7) , отримаємо

. (8)

Нагадаємо, що символом (читається ен-факторіал) позначають добуток натуральних чисел від 1 до , тобто

, , , , …,

Часткові суми:

Звернемо увагу на те, що в цих обчисленнях можна обійтись без калькулятора поскільки четвертий доданок у ряді (8) становить третього п’ятий – становить четвертого, шостий - п’ятого і т.д. Результати обчислень запишемо

0,5

=0,166666666…

=0,041666666…

=0,008333333…

=0,001388888…

=0,000198412… (9)

=0,000024801…

=0,000002755…

=0,000000275…

=0,000000027…

2,718281823…

Не оцінюючи величину похибки обчислень, зрівняємо отриманий результат з більш точним значенням .

Ми отримали результат з 8 вірними знаками після коми, який є наближеним значенням суми ряду (8). В даному випадку ми не можемо отримати у вигляді формули значенням часткової суми .

5. Розглянемо ряд

(10)

Знайдемо часткові суми

,

,

,

,

……………………..

,

,

тобто часткові суми парної кількості доданків дорівнюють 0, а суми непарної кількості доданків дорівнюють 1. Границя послідовності часткових сум даного ряду не існує.

Дата добавления: 2015-07-17