Показательные времена обслуживания

Основная область приложения процессов размножения и гибели связана с задачами расчета числа телефонных линий и различными типами очередей к телефонам, прилавкам или машинам. Этот тип задач может изучаться на различных уровнях математической абстракции. Метод процесса размножения и гибели является простейшим подходом, однако эта модель основана на математическом упрощении, известном как предположение о показательных временах обслуживания. Мы начнем обсуждение этого основного предположения.

Рассмотрим для конкретности телефонный разговор и предположим, что его продолжительность обязательно равна целому числу секунд. Мы рассмотрим продолжительность разговора как случайную величину и считаем известным ее распределение вероятностей . Тогда телефонная линия представляет собой физическую систему с двумя возможными состояниями “занято” и свободно . Когда линия занята, вероятность изменения состояния в течение следующей секунды зависит от того, как долго уже идет разговор. Иначе говоря, прошлое влияет на будущее, и поэтому наш процесс не является марковским. Это обстоятельство является источником трудностей, однако, к счастью, существует простое исключение.

Представим себе, что решение о том, продолжать или нет разговор, принимается каждую секунду бросанием несимметричной монеты. Иначе говоря, со скоростью одно испытание в секунду производится последовательность испытаний Бернулли, которая продолжается до первого успеха. Когда этот первый успех произойдет, разговор окончится. В этом случае общая продолжительность разговора, или “время обслуживания“, имеет геометрическое распределение . Когда линия занята, вероятность того, что она останется занятой более одной секунды, равна , а вероятность перехода на следующем шаге равна . Теперь эти вероятности не зависят от того, как долго была занята линия.

Когда использование дискретного временного параметра оказывается нежелательным, приходится работать с непрерывными случайными величинами. Тогда роль геометрического распределения для времен ожидания берет на себя показательное распределение. Это единственное распределение, имеющее марковский характер, т.е. наделенное полной потерей памяти. Иначе говоря, вероятность того, что разговор, происходящий в момент времени , продлится до , не зависит от продолжительности предыдущего разговора тогда и только тогда, когда вероятность того, что разговори продлится более единиц времени, равна . Мы уже встречались с этим “показательным временем обслуживания” как с нулевым членом распределения Пуассона (2.4), т.е. как с временем ожидания первого изменения.

Метод процесса размножения и гибели применим только тогда, когда изучаемые переходные вероятности не зависят от прошлого; это означает, что все времена обслуживания должны быть показательными. С практической точки зрения это предположение может на первый взгляд показаться довольно искусственным, однако опыт показывает, что оно неплохо описывает реальные явления. В частности, многочисленные измерения показали, что телефонные разговоры внутри города следуют показательному закону с поразительной степенью точности. Та же ситуация превалирует и в случае других времен обслуживания (например, продолжительности ремонта машин).

Остается охарактеризовать так называемый входной поток (поступающие вызовы, поломки станков и т.д.). Мы предположим, что вероятность поступления вызова в течение любого интервала времени длиной равна плюс пренебрежимо малые члены и что вероятностью более чем одного вызова в этом интервале в пределе можно пренебречь. Это означает, что число поступивших (до момента времени ) вызовов имеет распределение Пуассона со средним . Мы будем описывать эту ситуацию, говоря, что входной поток имеет пуассоновский тип с интенсивностью .

Дата добавления: 2015-07-15