Упражнения и тесты. Таблица истинности для логического отрицания задается следующим образом:

Таблица истинности для логического отрицания задается следующим образом:

А	А
и	л
л	и

Кроме того, логическое отрицание обладает таким свойством, как попарная сократимость, что можно проиллюстрировать с помощью приведенной ниже таблицы:

А	А	А
и	л	и
л	и	л

Отсюда таблица истинности для логического отрицания свидетельствует о том, что всякая пара формул вида А и А будет находиться в отношении логического противоречия в отношении друг к другу.

Семантика конъюнкции задается следующей таблицей истинности:

А	В	(А ^ В)
и	и	и
л	и	л
и	л	л
л	л	л

Из приведенной выше таблицы видно, что конъюнктивная формула истинна лишь в том случае, когда оба ее конъюнкта истинны, и ложна во всех остальных случаях.

Как и в случае с логическим отрицанием, следует различать обычное словоупотребление соединительных союзов в речи и их использование в значении собственно логической связки, конъюнкции.

Из таблицы истинности для конъюнкции видно, например, что конъюнкция обладает свойством коммутативности (перестановочности), согласно которому истинностные значения формул вида (А ^ В) и (В ^ А) всегда совпадают. Эти две формулы сообщают в точности одно и то же. Но в обычной речи изменение порядка мыслей может повлечь за собой даже полную утрату смысла всего выражения.

Например, сравним следующие сложные суждения:

Студент N почувствовал недомогание и принял изрядную долю лекарств;

Студент N принял изрядную долю лекарств и почувствовал недомогание.

Таким образом, соединительный союз «и» несет здесь не только конъюнктивную нагрузку, но и служит для передачи мыслей о порядке, последовательности событий и даже о наличии известных причинно-следственных связей между ними.

В следующем примере соединительная связь уже в принципе исключает возможность перестановок:

Студент N стал усердно готовиться к экзамену, но скончался от переутомления;

Студент N скончался от переутомления, но стал усердно готовиться к экзамену.

Семантика нестрогой (неисключающей, неразделительной) дизъюнкции задается следующей таблицей истинности:

А	В	(А v В)
и	и	и
л	и	и
и	л	и
л	л	л

Из таблицы видно, что дизъюнктивная формула вида (А v В) истинна в тех случаях, когда истинен хотя бы один из дизъюнктов, и ложна лишь в том случае, когда оба дизъюнкта ложны.

Строгой (исключающей, разделительной) дизъюнкции соответствует следующая таблица истинности:

А	В	(А ▼ В)
и	и	л
л	и	и
и	л	и
л	л	л

Заметим, что не всякое выражение русского языка, содержащее слово «или», может трактоваться как разделительная связь. Так, к примеру, в «Сказке о мертвой царевне и семи богатырях» А.С.Пушкина злая мачеха спрашивает у волшебного зеркальца: «Я ль на свете всех милее, всех румяней и белее?» Это, безусловно, риторический вопрос.

С другой стороны, возможны ситуации, когда в речи или на письме явным образом отсутствуют разделительные союзы и их аналоги, однако описываемая ситуация все же имеет дизъюнктивный характер.

Так, надпись на стекле вагона общественного транспорта гласит:

«Места для пассажиров с детьми, инвалидов и лиц пожилого возраста».

Хотя в тексте заявлен здесь соединительный союз «и», налицо здесь именно дизъюнктивная ситуация.

Семантика импликации задается следующей таблицей истинности:

А	В	(А → В)
и	и	и
л	и	и
и	л	л
л	л	и

Остановимся подробнее на таблице истинности для импликации. Первая и третья строка таблицы действительно укрепляют первоначальное предположение о смысловом соответствии импликации и условной связки.

В качестве примера для анализа возьмем высказывание: «Пока гром не грянет, мужик не перекрестится». Применительно к требованиям логики перефразируем высказывание: «Если гремит гром, то мужик крестится».

Отсюда имеет место следующее:

а) истинно, если всякий раз, как только гремит гром, мужик крестится;

б) ложно, если при гремящем громе мужик не крестится.

	А	В	(А → В)
1.	И	и	И
2.	л	и	и
3.	И	л	Л
4.	л	л	и

Сказанное здесь в строках 1 и 3 не вызывает сомнения.

Однако строки 2 и 4 не могут не вызывать сомнения.

Относительно строки 2 можно подчеркнуть следующее: консеквент В формулы (А → В ) вообще может быть не связанным по смыслу с содержанием антецедента А.

Иными словами, импликация устроена так, что произвольное истинное высказывание имплицируется любым ложным, независимо от того, связаны ли выражаемые высказываниями суждения как-то по смыслу или нет.

Например:

Пусть А означает (ложное) высказывание «2 x 2 = 5», а В означает (истинное) высказывание «Земля вращается вокруг Солнца». Тогда согласно таблице истинности (строка 2) импликация (А → В ) будет истинной. В то же время суждение «если 2 x 2 = 5, то Земля вращается вокруг Солнца» вряд ли будет признана истинной в обычной речи, поскольку не видно каких-либо разумных оснований для установления условной зависимости между астрономическим фактом вращения Земли вокруг Солнца и приведенным выше математическим уравнением.

Последнее замечание означает, что сближать импликативную связь с условной связью можно лишь с известными оговорками.

Отсюда главное отличие импликации от условной связи заключается в том, что в обыденной речи, связывая условным союзом два суждения А и В, обычно подразумевают, что между событиями, соответствующими суждениям, имеется какая-то существенная (причинная, структурная, временная, генетическая и пр.) зависимость.

В то же время логическая импликативная связь абстрагируется от подобных зависимостей, фиксируя лишь зависимость истинностных значений антецедента и консеквента.

В случае строки 4 можно пояснить, что если из лжи следует ложь, то это соответствует смыслу данного отношения, что является истинным.

Таблица истинности для эквиваленции выглядит следующим образом:

А	В	(А ↔ В)
и	и	и
л	и	л
и	л	л
л	л	и

В русском языке наиболее близкими эквиваленции являются обороты «А тогда и только тогда, когда В», «А эквивалентно В», «А равносильно В», «А если и только если В» и др..

Как и импликация, эквиваленция допускает соединение в сложном высказывании выражений, никак не связанных друг с другом по смыслу.

В заключение приведем сводную таблицу условий истинности сложных суждений:

р	q	р ^ q	р v q	р ▼q	р→q	р←q	р↔q
и	и	и	и	л	и	и	и
л	и	л	и	и	и	л	л
и	л	л	и	и	л	и	л
л	л	л	л	л	и	и	и

Дата добавления: 2015-07-17