Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Краткие теоретические сведения. Логические (цифровые) схемы составляют основу устройств цифровой (дискретной)

Читайте также:
  1. I. Общие сведения
  2. I. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
  3. I. Сведения о наличии в собственности или на ином законном основании оборудованных учебных транспортных средств
  4. IV.1. Общие сведения.
  5. IX.1. Общие сведения об избирательных усилителях.
  6. V. Все теоретические науки, основанные на разуме, содержат априорные синтетические суждения как принципы
  7. VI.1. Основные сведения об усилителях мощности.

Логические (цифровые) схемы составляют основу устройств цифровой (дискретной) обработки информации – вычислительных машин, цифровых измерительных приборов и устройств автоматики. Связи между этими схемами строятся на основе исключительно формальных законов. Инструментом такого построения и анализа служит булева алгебра, которая применительно к цифровой технике называется алгеброй логики.

Введем основные понятия алгебры логики.

Логическая переменная – это переменная, которая может принимать только два значения, которые обычно называются логическим нулем (0) и логической единицей (1).

Логическая функция – логическая (зависимая) переменная, значение которой является функцией одной или нескольких логических (независимых) переменных.

Таблица истинности – таблица, в которой заданы значения логической функции для всех возможных значений независимых переменных.

Существуют три основные логические функции:

1) логическое отрицание, или инверсия, обозначаемая чертой над выражением функции либо аргументом: (табл. 5) и именуемая функцией НЕ;

2) логическое умножение, или конъюнкция, показываемая знаками «Щ», «×», «&» или «*»: (табл. 6). Отметим, что данная функция равна логической единице только тогда, когда оба аргумента равны единице, поэтому операцию конъюнкции называют функцией И;

3) логическое сложение, или дизъюнкция, обозначаемая знаками «Ú» или «+»: (табл. 7). При дизъюнкции двух переменных функция равна логической единице тогда, когда хотя бы один из аргументов равен единице, поэтому дизъюнкцию называют функцией ИЛИ.

Кроме основных логических функций существуют также логические функции, базирующиеся на основных, которые часто используются в алгебре логики:

1) ИЛИ-НЕ: ;

2) И-НЕ: ;

3) равнозначность: ;

4) неравнозначность: .

Табл. 8 – 11 – таблицы истинности этих функций.

 

Таблица 5 Таблица 6 Таблица 7

X Y   X 1 X 2 Y   X 1 X 2 Y
               
               
             
           

 

Таблица 8 Таблица 9 Таблица 10 Таблица 11

ИЛИ-НЕ И-НЕ Равнозначность Неравнозначность

X 1 X 2 Y   X 1 X 2 Y   X 1 X 2 Y   X 1 X 2 Y
                       
                       
                       
                       

Применительно к логическим операциям в алгебре логики существуют следующие законы:

1) переместительный: ; ;

2) сочетательный:

; ;

3) распределительный:

; ;

4) поглощения: ; ;

5) склеивания: ; ;

6) теорема де Моргана: и ;

Помимо приведенных законов применяют также следующие правила:

1) повторения: или

2) отрицания: или ;

3) двойного отрицания:

4) операций с нулем и единицей: ; ; ; ; ; .

Отметим, что некоторые из этих законов и правил известны из алгебры чисел, остальные для чисел несправедливы, а понятие «отрицание» для чисел вообще не определено.

Функция алгебры логики считается полностью определенной, если заданы ее значения для всех сочетаний аргументов. К способам задания функций относят:

1) табличный – когда функция представляется таблицей истинности (соответствия), содержащей 2 n строк и (n + 1) столбцов для n аргументов. В последнем (n + 1)-м столбце находятся значения функции, соответствующие сочетанию значений аргументов, записанных в первых n столбцах. Структура таблицы истинности для трех аргументов приведена на рис. 17;

2) алгебраический – функция представляет собой алгебраическое выражение, в котором определен порядок выполнения логических операций над аргументами, например: или ;

3) числовой – функция задается номерами наборов, для которых значение функции равно единице. В соответствии с этим для функции, приведенной на рис. 17, можно записать следующее: f = {1, 2, 4, 7} a, b, c. Для функций, имеющих безразличные или неопределенные состояния на некоторых наборах данных, в таблице истинности проставляются знаки «~», «Æ» или «*», а в числовом способе записи через дробь указываются эти номера сочетаний, например: f = {1, 2, 3/5, 7} a, b, c. Другой вариант записи функции предполагает указание обязательных и запрещенных сочетаний в следующем виде: f = {1, 2, 3, (0, 4, 6)} a, b, c. В обоих случаях функция равна единице на наборах 1, 2, 3, имеет безразличное состояние в сочетаниях 5 и 7, а в остальных случаях (0, 4, 6) равна нулю;

4) координатный – функция задается в виде координатной карты состояний (карты Карно), содержащей 2 n клеток, где в каждой клетке содержится значение функции для определенного сочетания значений аргументов. На рис. 18, а представлена карта для функции f (a, b, c) (см. рис. 17). На рис. 18, б, в показаны карты для трех и четырех аргументов соответственно, где в каждой клетке вместо значения функции приведен номер сочетания аргументов.

Проставление координат карт производится произвольно, с учетом того, чтобы каждой клетке соответствовало одно сочетание значений аргументов таблицы истинности. Координатный вид задания удобен для логических функций не более чем пяти аргументов и служит для наглядного представления функции с целью проведения дальнейших преобразований и минимизации.

Каноническими формами представления логических функций являются дизъюнктивная (ДНФ) и конъюнктивная (КНФ) нормальные формы. Если каждое слагаемое (сомножитель) ДНФ (КНФ) содержит все аргументы функции, то такая форма является совершенной – СДНФ (СКНФ).

а б в

Рис. 18. Координатный способ задания функции

СДНФ может быть получена непосредственно из таблицы истинности, если представить в виде логических произведений наборы аргументов, на которых функция равна единице, а затем объединить их знаками логического сложения.

Для получения СКНФ из таблицы истинности необходимо представить в виде инверсий наборы аргументов, на которых функция принимает значение ноль, и объединить их знаками логического умножения.

По каноническим формам (СДНФ и СКНФ) могут быть построены логические устройства, но, как правило, схемы в этих случаях содержат избыточное количество элементов и, прежде чем их составить, функции должны быть упрощены и получены минимальные формы (МДНФ или МКНФ).

При минимизации функций алгебры логики, заданных перечисленными выше способами, могут быть использованы алгебраический (последовательный) метод и метод карт Карно.

Алгебраический метод минимизации основан на применении законов и правил алгебры логики для преобразования выражения функции с целью получения минимальной формы. При этом первоначальная запись функции может быть любой, а метод применим для любого числа аргументов.

Метод Карно применяется для небольшого числа аргументов (не более пяти) и основан на работе с координатной картой Карно (см. рис. 18), отличается простотой и наглядностью процесса минимизации.

При использовании метода Карно заданную функцию следует представить координатной картой и провести операции склеивания путем объединения в замкнутые области значений функции, равных единице или нулю, и исключить из выражения функции аргументы, изменяющие свои значения в пределах выделенных областей. Координатная карта представляет собой непрерывную поверхность, поэтому возможно объединение единиц, находящихся у противоположных границ карты. Функция запишется в минимальной дизъюнктивной нормальной форме, если операции склеивания проводились с наборами аргументов, на которых функция равна единице, и в минимальной конъюнктивной нормальной форме при проведении операций склеивания с наборами, на которых функция равна нулю. Следует помнить, что в одну область объединяются 2 k клеток, где k = 1, 2, 3 и т. д.

Логические функции могут быть реализованы с помощью соответствующих логических элементов, выполненных по технологии интегральных микросхем. Для упрощения разработки схем и анализа их работы приняты условные графические изображения для таких элементов, не раскрывающие внутреннее строение, а показывающие лишь логическую функцию элемента. Логические элементы, реализующие простейшие логические функции, показаны на рис. 19.

 

Рис. 19. Логические элементы

Интегральные микросхемы, реализующие логические функции, отличаются по потребляемой мощности, напряжению питания, значениям высокого и низкого уровня логических нуля и единицы, времени задержки распространения сигнала (быстродействию) и нагрузочной способности (коэффициент разветвления по выходу).

Интегральные микросхемы выполняются на основе различных логик: резистивно-транзисторной (РТЛ), диодно-транзисторной (ДТЛ), транзисторно-транзисторной (ТТЛ), эмиттерно-связанной (ЭСЛ), комплементарной МОП (КМОП) (с использованием полевых транзисторов с изолированным затвором).

Среди перечисленных наиболее распространенными являются логики ТТЛ и КМОП. Каждая из приведенных разновидностей логических схем позволяет наиболее просто реализовать одну из основных логических функций. Так, для логик РТЛ, ЭСЛ и КМОП это ИЛИ-НЕ; ДТЛ, ТТЛ – И-НЕ. Используя любой из этих базовых элементов (базис И-НЕ или ИЛИ-НЕ), можно получить остальные основные логические элементы, а следовательно, и любую логическую функцию.

В табл. 12 приведены способы получения схем, реализующих основные логические функции для базисов 2И-НЕ и 2ИЛИ-НЕ, где цифра обозначает количество входных линий логического элемента.

Таблица 12

Способы реализации основных логических функций


Дата добавления: 2015-07-17; просмотров: 67 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Краткие теоретические сведения | Методические указания | Пример расчета |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Методические указания| Пример расчета

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)