Сложение колебаний. 3.1 Сложение колебаний одного направления

3.1 Сложение колебаний одного направления

Пусть система совершает колебания в одном направле-нии с одинаковыми амплитудами и разными частотами – и :

,

(3.1)

.

Примером может служить груз, подвешенный на пру-жине, прикрепленной к подвижной опоре (рис.3.1).

Груз совершает колебания ψ ₁ с частотой , подвижная опора, в свою очередь, колеблется с частотой совер-шая колебания ψ ₂. Результирующее колебание описывает-ся выражением:

. (3.2)

Подставим в (3.2) выражения (3.1) для обоих колеба-ний:

. (3.3)

Используя формулу для суммы косинусов углов:

, (3.4)

преобразуем (3.3) к виду:

. (3.5)

Полусумма частот и колебаний представляет со-бой среднюю частоту:

, (3.6)

а полуразность частот назовём частотой модуляции:

. (3.7)

Физический смысл частоты модуляции будет прояснен ниже.

С учетом введенных обозначений выражение для сум-марного колебания приобретает вид:

. (3.8)

3.2 Сложение колебаний одной частоты.

Векторная диаграмма

Рассмотрим сложение двух колебаний, происходящих с одной частотой без разности фаз:

,

(3.9)

.

В этом случае средняя частота , а частота моду-ляции . Уравнение колебаний принимает вид

, (3.10)

где A₁ и A₂ – амплитуды первого и второго колебания со-ответственно. Видно, что суммарное колебание происхо-дит с частотой ω и амплитудой А=A₁+A₂.

Рассмотрим случай, когда колебания происходят с не-которой разностью фаз:

,

(3.11)

,

где и – начальные фазы первого и второго коле-бания соответственно. Для наглядного изображения этого случая удобно применить следующий метод, суть которо-го заключается в том, что колебания изображаются в виде вектора-амплитуды , вращающегося с угловой скорос-тью против часовой стрелки (рис. 3.2). Если в началь-ный момент времени вектор образует с горизон-тальной осью угол , то проекция вектора на эту ось изменяется со временем по гармоническому закону .

Такой способ представления называется векторной ди-аграммой и его удобно использовать при сложении коле-баний одного направления.

Изобразим колебания, описанные выражением (3.11) в виде векторной диаграммы (рис. 3.3).

Первое колебание изображено вектором амплитуды A ₁, отклоненным от горизонтальной оси на угол j ₁(началь-ная фаза первого колебания). Соответственно, второе ко-лебание изображено вектором A ₂, отклоненным от гори-зонтальной оси на угол j ₂. Разность фаз между обоими колебаниями остается постоянной:

, (3.12)

поэтому векторы A ₁ и A ₂ вращаются с одной угловой ско-ростью. Результирующее колебание также является гар-моническим и описывается выражением:

. (3.13)

Амплитуда А результирующего колебания может быть найдена по теореме косинусов (рис. 3.4):

. (3.14)

Итак, амплитуды при сложении колебаний одного на-правления с одинаковыми частотами суммируются как векторы.

Кроме того, начальная фаза результирующего ко-лебания может быть определена как:

(3.15)

Из рисунка (3.4) и формулы (3.14) видно, что ампли-туда зависит от разности фаз . Амплитуда будет мак-симальной при сложении синфазных колебаний :

, (3.16)

минимальная же амплитуда будет при сложении противо-фазных колебаний :

. (3.17)

3.3 Сложение колебаний близких частот.

Биения

В предыдущем разделе мы выяснили, что амплитуда суммарного колебания зависит от разности фаз между ко-лебаниями. Рассмотрим случай, когда разность фаз не ос-тается постоянной, а изменяется со временем. Это имеет место,когда колебания происходят с близкими частотами, т.е. когда .

При этом модуль результирующего вектора будет медленно изменяться от до , причем сам вектор будет вращаться с угловой скоростью, близкой к и . Результирующее колебание уже не будет гармоничес-ким, однако его можно рассматривать как гармоническое с медленно и периодически меняющейся амплитудой. Та-кие колебания называют биениями (рис. 3.5).

Рассмотрим математическую сторону явления биений. Получим закон изменения разности фаз. Пусть складыва-ются два колебания с близкими частотами:

,

(3.18)

,

где и – начальные фазы первого и второго колебания соответственно. Тогда разность фаз будет составлять:

. (3.19)

Видно, что разность фаз зависит от времени, причем период изменения разности фаз на составляет

, (3.20)

где – частота биений:

. (3.21)

Промежуток времени между соседними моментами, ко-гда амплитуда максимальна, и определяемый выраже-нием (3.20), называется периодом биений .

Из сравнения (3.41) с выражением для частоты моду-ляции (3.7) видно, что частота биений представляет собой удвоенную частоту модуляции:

, (3.22)

соответственно, период модуляции вдвое больше периода биений:

. (3.23)

Кроме того, введя обозначение для относительно мед-ленного изменения амплитуды колебаний, связанного с из-менением разности фаз:

, (3.24)

и назвав его амплитудой модуляции, можно представить биения как гармонические колебания амплитуды модуля-ции:

(3.25)

с соответствующим периодом:

(3.26)

Дата добавления: 2015-07-16