Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Элементарные функции и их непрерывность.

Читайте также:
  1. A. ФУНКЦИИ КНОПОК БРЕЛКА
  2. II. Основные задачи и функции деятельности ЦБ РФ
  3. II. Основные задачи и функции медицинского персонала
  4. II.4. Механизм действия ингибиторов АПФ при эндотелиaльной дисфункции.
  5. III. Функции и полномочия контрактной службы
  6. IV. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ
  7. IV. ФУНКЦИИ И ЭФФЕКТИВНОСТЬ КОНФЛИКТА.

1. Степенная функция с рациональным показателем. Степенная функция x=yn (n=1,2,…)

непрерывна на всей числовой прямой. В самом деле, y=xx….x(n раз) есть произведение n непрерывных функций.

Функция y=x-n (n =1,2,…) непрерывна при x≠0. На основе предыдущего абзаца, функция y=x-n =1/xn непрерывна при х≠0.

Функция будучи обратной по отношению к непрерывной монотонной функции х=уn , рассматриваемой при непрерывна в силу следствия из теоремы 4.18.

Для пропорционального r=p/в (в p -целое) функция у=хr = , будет непрерывна при х>0 по теореме 4.10 о непрерывности сложной функции. (Здесь f(x)= (t)=tp ).

2. Показательная функция у=ах ((a>0). В силу сказанного в п.1 показательная функция у=ах

уже определенна для любого рационального х.

Будем пока считать a>1.

Имеют место следующие свойства функции f(r)=ar , рассматриваемой на множестве рациональных чисел:
1) ar1+r2 =ar1 ar2 .

2) Если r1 <r2,то ar1<ar2(a>1).

3) Функция f(r)=ar непрерывна в точке 0, т.е. .

4) Если - сходящаяся последовательность рациональных чисел, то последовательность фундаментальна и, следовательно, сходится.

Свойства 1) и 2) легко проверяются. Докажем свойства 3) и 4).

Д о к а з а т е л ь с т в о свойства 3). Покажем, что .

Обозначим а1/n-1=an. Очевидно, an>0. По формуле бинома Ньютона а=(1+ап )п=1+nan+ откуда видно, что 0<an

Из полученных неравенств в силу теоремы 3.4 следует, что

,

Равенство (1) доказано.

Из (1) следует, что

Действительно,

.

Докажем, что . Для произвольно заданного в силу (1) И (2) найдётся такой номер m, что выполняются неравенства 0<a-1/m-1< , 0<1-a-1/m< .

В силу свойства 2) . Пусть теперь |r|< , тогда

Таким образом, при |r|

т.е . Свойство 3) доказано.

Д о к а з а т е л ь с т в о свойства 4). Поскольку последовательность (rn) сходится, то она ограничена и фундаментальна. Следовательно, ограничена и последовательность {ar(n)} (в силу свойства 2):

В силу свойства 3) заданного найдётся такое , что для любого рационального r, удовлетворяющего условию , выполнено неравенство:

Так как последовательность {rn } фундаментальна, то существует такой номер N, что при всех n, m>N имеет место неравенство: .

Из неравенства 4) и 5) следует, что при n, m>N

и в силу (3)

.

Таким образом, последовательность {ar(n)} фундаментальна. Свойства 4) доказано.

Пусть {rn} – последовательность рациональных чисел, сходящаяся к вещественному числу х. Положим по определению

Как обычно показано выше (свойство 4), придел справа всегда существует. Покажем, что он не зависит от выбора от выбора последовательности {rn}. В самом деле, если {rn} и {rn}- две последовательности, сходящиеся к одному и тому же числу х, то в силу свойства 3) при и тогда

Итак, показательная функция у=ах (а>1) определена на всей числовой прямой.

Имеют место следующие свойства:

1. ах(1)+х(2)х(1)+(2) для любых вещественны х1 и х2;

2. ах>0 для любого вещественного х;

3. Показательная функция у=ах (a>1) возрастает.;

4. Показательная функция у=ха непрерывна в точке 0.

Свойства 1-3 проверяются довольно просто. Остановимся на доказательстве свойства 4.

В силу второго определения предела функции нужно доказать, что для любой последовательности соответствующая последовательность значений функции . Воспользовавшись тем, что для любых двух различных вещественных чисел найдётся рациональное число, заключённое между ними (теорема 2.1), построим две последовательности {rn}, {rn} рациональных чисел так, чтобы выполнялись неравенства:

Очевидно, Кроме того (так как a>1),

В силу теоремы 3.4 из полученных неравенств следует, что Свойство 4.доказано.

До сих пор мы предполагали, что a>1. Если 0<a<1, то по определению полагают

ах=(а-1).

Если а=1, то ах=1 для любого х.

Легко видеть, что при 0<a<1 показательная функция у=ах убывает и для неё выполняются свойства 1., 2. и 4..

Т е о р е м а 4.19. Показательная функция у=ах (а>0) непрерывна на всей числовой оси, причём при а>1 (a<1) она возрастает (убывает) и множество её значений представляет собой промежуток (0;+ ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Свойства монотонности функции у=ах были уже отмечены выше. Докажем её непрерывность. В силу теоремы 4.10 о непрерывности сложной функции и свойства 4. Для любого вещественного числа х0

Поэтому

т.е функция у=ах непрерывна на всей числовой прямой.

Покажем, что множество значений функций у=фх представляет собой промежуток (0,+ ). Пусть, например, а>1. А Р есть некоторый промежуток множества значений функции у=ах. Поскольку и ах>0 (в силу действия 2.), то Р=(0, . Теорема доказана

3. Логарифмическая функция y=logax (a>0,a≠1). Логарифмическая функция y=logax определяется как обратная по отношению к функции х=ау.

Из ранее изученных теорем мы знаем, что логарифмическая функция определена на промежутке , монотонно возрастает (убывает) при а>1 (0<a<1) и непрерывно на этом промежутке.

 

Логарифмы, в качестве основания которых выбрано число е, называются натуральными логарифмами. Для них вводится следующее обозначение:

logax=ln x.

4. Степенная функция с вещественным показателем . Степенная функция с вещественным показателем определена для всех x>0 и связана с показателем и логарифмической функциями соотношением:

В силу теоремы 4.10 о непрерывности сложной функции и непрерывности логарифмической и показательной функций степенная функция непрерывна при x>0.

 

 


Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 95 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Теорема 4.1. Определения 1 и 2 эквивалентны. | Основные теоремы о пределах. | Замечательные пределы. | Первый замечательный предел | Зрения предельного перехода. | Непрерывные функции. | Свойства функций непрерывных в точке | Определение. | Доказательство. | зрения предельного перехода. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Монотонные функции| Элементарные функции и их непрерывность. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)