Вынужденные колебания гармонического осциллятора.

где F₀ - амплитудное значение действующей силы;

w - частота вынуждающей силы.

4

где F₁ - возвращающая сила, F = - kx;

F₂ - сила сопротивления, F = - rv (при малых значениях v);

F₃ - вынуждающая сила, F = F₀×sinw₂t.

Неоднородное, линейное, дифференциальное, второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного и частного решения неоднородного.

ОН=ОО+ЧН

ОО

где

Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения по виду правой части:

x₂=a cos(wt-j)

a-?

j-?

Частное решение неоднородного уравнения ЧН

А его общее решение будет таким:

С течением времени t e^-bt®0 и первое слагаемое ®0 и общее решение становится равным второму слагаемому – установившиеся колебания

Анализ:

1. гармонические колебания происходят с частотой w равной частоте вынуждающей силы

2. амплитуда вынужденных колебаний зависит от амплитуды вынуждающей силы,

3. параметров колебательной системы , свойств среды .

4. и соотношение частот вынуждающей силы и собственной частоты

5. фаза вынужденных колебаний отстает от фазы вынуждающей силы на

Резонанс

а=j(w)

Анализируем знаменатель дроби на минимум:

((w_о²-w²)²+4b²w²)¢=2(w_о²-w²)2w+4b²2w=

=4w(w_о²-w²)+8b²w=0

4w(w_о²-w² + 2b²)=0;

w=0 w²-(w_o²-2b²)=0;

w=0 не имеет физического смысла

Нет смысла и у выражения

А вот выражение

Представляет собой точку максимума амплитуды вынужденных колебаний – резонанс

Если затухание в среде мало то

Подставив в выражение для амплитуды вынужденных колебаний

резонансную частоту

Получим выражение для амплитуды колебаний при резонансе:

При - нет физического смысла

При наличии затухания

добротности колебательной системы

Дата добавления: 2015-07-15