Интегрирование рациональных дробей

Если рациональная дробь является неправильной, то есть , то её можно представить в виде суммы , где и – многочлены степеней и , причем < . Разложение правильной дроби в сумму простейших имеет вид:

если ,

где – неопределенные коэффициенты.

При этом каждая из простейших дробей, стоящих в правой части равенства, интегрируется в квадратурах.

Таким образом, для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо в случае, если она является неправильной, выделить целую часть, затем разложить знаменатель оставшейся правильной дроби на множители степени не выше второй и представить эту дробь в виде суммы простейших дробей, вычислив коэффициенты их числителей с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Пример 1.

Подынтегральной функцией является правильная дробь, разложение которой в сумму простейших имеет вид:

Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях , что приведет к линейной системе относительно

Отсюда Следовательно,

,

где

Таким образом, окончательный результат имеет вид:

Пример 2. . Разделив числитель неправильной подынтегральной дроби на знаменатель, получим

.

Разложим правильную дробь на простейшие дроби:

.

Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем:

или .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях последнего тождества:

Отсюда: Подставим эти коэффициенты в схему разложения правильной дроби и получим:

.

Искомый интеграл равен:

.

Пример 3. . Так как квадратичный множитель не имеет действительных корней, то разложение правильной подынтегральной дроби имеет вид

.

Освободимся от знаменателя и раскроем скобки.

.

Применим метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений для нахождения коэффициентов . Так как действительным корнем знаменателя является , то подставим это значение в последнее тождество:

,

, . Коэффициенты и найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и :

,

Отсюда: .

Подставим коэффициенты в схему разложения правильной дроби:

.

Искомый интеграл

.

Дата добавления: 2015-07-15