Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги)

Пусть в каждой точке гладкой кривой L=АВ в плоскости О ху задана непрерывная функция двух переменных f(x,y). Произвольно разобьем кривую L на n частей точками А = М ₀, М ₁, М ₂,…, М_n = B, затем на каждой из полученных частей M_{i- 1} M_i выберем любую точку и составим сумму

,

где = M_{i- 1} M_i – длина дуги M_{i- 1} M_i. Полученная сумма называется интегральной суммой первого рода для функции f(x,y), заданной на кривой L. Обозначим через d наибольшую из длин дуг M_{i- 1} M_i. Если при d ®0 существует предел интегральных сумм S_n (не зависящий от способа разбиения кривой на части и выбора точек ), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x,y) по кривой L и обозначается

.

Криволинейный интеграл первого рода обладает свойствами определенного интеграла (аддитивность, линейность, оценка модуля, теорема о среднем). Однако есть отличия:

,

т.е. криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления.

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению определенного интеграла. А именно:

1. Если кривая L задана непрерывно дифференцируемой функцией y=y(x), x Î[ a,b ], то , при этом выражение называется дифференциа-лом длины дуги.

2. Если кривая L задана параметрически, т.е. в виде х=x(t), y=y(t), где x(t), y(t) – непрерывно дифференцируемые функции на некотором отрезке[a;b], то

.

3. Если кривая L задана полярным уравнением r=r( j ), jÎ[a;b],то

.

Дата добавления: 2015-07-15