Докажите, что произведение бм и ограниченной послед-ей является бм послед-ью.

док-во:

Пусть {Хn} – ограниченная, а {αn} – бм послед-и. Доказать, что {Xn * αn} – бм. Так как {Хn} ограниченна, то существует число А > 0 такое, что любой элемент Хn удовлетворяет неравенству | Хn | ≤ А. Возьмем любое ε > 0. Поскольку {αn} – бм, то для положительного числа ε/А существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство | αn | < ε/А. Тогда при n > N |Xn * αn | = |Xn| * | αn | < A * ε/A = ε. Это означает, что послед-ь {Xn * αn} – бм.

15. Может ли послед-ь {Xn + Yn} сходиться, если послед-ь {Xn} сходится, а послед-ь {Yn} расходится? Ответ обоснуйте.

нет, не может:x+y=z z-x-сход.z-x=y –не может

16. Докажите, что функция f(x) = sin 1/x не имеет предела в точке x = 0.

lim (x→0) sin 1/x по Гейне lim (n→∞) Xn = X0, lim(x→0+0) 1/x = +∞, lim(x→0-0) 1/x = - ∞

lim (x→0+0) sin 1/x – не сущ. sin (x→0-0) 1/x – не сущ.

17. Может ли функция f(x) +g(x) быть непрерывной в точке х0, если функция f(x) непрерывна, а функция g(x) имеет разрыв в этой точке, а функция g(x)имеет разрыв в этой точке. ответ обоснуйте.

Нет. Так как есть теорема, в которой говорится. Если f(x) и g(x)- непрерывные функции в точке x0, то непрерывными являются .

.f(x)=c-является непрерывной и f(x)=x.

18 Найдите значение а, при котором функция f(x) =1) (x^2-3x)*cos(1/x),x=/0;2) a, x=0 непрерывна в 0. Lim(1)=0, то а=0

19 определение производной в точке Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x₀(∆x=x-x₀). Производной функции в точке x₀ называется lim , когда (при условии, что lim существует). Обозначение .(x->x0) Lim=((x0+^x)^1/2-x0^1/2)/^x= lim(x^1/2-x0^1/2)/(x-x0)= lim1/(x^1/2+x0^1/2)=1/2 *x0^(-1/2)

20. f(x)=sinx, x_о-произвольное число

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’ (x)= =

f ′(x_о)= = = = cosx₀

21 f(x)= , x_о =1

= = =-2

22 f(x)=x ½x½, x₀=0

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’ (x)= =

23

27f(x) = 3^x, x₀ = 5.

Эластичностью функции y = f(x) в точке х₀ называется предел

E(x)=

28Докажите, что эластичность произведения двух функций равна сумме их эластичностей.

Эластичность произведения ф-ий и в точке равна сумме эластичностей ф-ций в этой же точке: . Эластичность равна E_y=x(lny) Док-во: Пусть тогда .

29Сформулируйте теорему Ролля. Можно утвержд, что производная функции f(x) = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5) обращается в нуль в трех точках интервала (2,5)?

Пусть ф-ция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и , то найдётся хотя бы одна точка , в которой .

Можно.

f(2)=0, f(3)=0, f(4)=0, f(5)=0 => существует С1из (2;3), такое, что f'(C1)=0, и тд 2, 3, 5, 4

30Сформулируйте теорему Коши для пары дифференцируемых функций. Выведите из теоремы Коши утверждение теоремы Лагранжа. Пусть функции f(x) и g(x) 1. непрерывны на отрезке [a, b]; 2. дифференцируемы в интервале (a, b); "x О (a, b) g'(x) ≠ 0. Тогда существует точка c О (a, b) такая, что . Частным случаем теоремы Коши (при g(x) = x) является теорема Лагранжа.

32. Следует ли из существования производной функции в точке ее непрерывность в этой точке?

Если функция U=f(x) дифференцирована в некоторый точке x=x₀, то она непрерывна в этой точке.

Это условии необходимое, но недостаточное.

Доказательство: пусть функция u= f(x) дифференцирована, тогда существует = а, тогда = а+a(x ), где a(x) – б.м.

Тогда Dy=Dxа + Dxa(x), Dy = (f ’ (x₀)

43.(34) Сформулируйте теорему Лагранжа. Докажите, что если f ′(x) = 0 на интервале (a,b), то функция f (x) постоянна на этом интервале.

Пусть функция f(x)

1. непрерывна на отрезке [a, b];

2. дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с О (a, b) такая, что f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a)

=>

Дата добавления: 2015-07-15