При одновременном учете влияния давления и температуры

(1.27)

В качестве примера, в котором необходимо учитывать переменность вязкости, рассмотрим случай ламинарного течения жидкости в зазоре между двумя параллельными пластинами под действием избыточного давления при начальной температуре (рис. 8).

Рис.8. Схема ламинарного течения в плоскопараллельном

зазоре при переменной вязкости жидкости

Определим закон изменения давления вдоль зазора, а также расход жидкости через него. Так как при движении жидкости работа сил трения переходит в тепло, то между давлением и температурой жидкости в каждом сечении зазора существует определенная зависимость. Пусть в некотором сечении x от входа избыточное давление равно р и температура t. Тогда, считая, что все тепло, выделяемое в результате внутреннего трения, воспринимается жидкостью и не передается стенкам, можно записать

(1.28)

Обозначая 1/Сr = k, получим

, (1.29)

где С - удельная теплоемкость в Дж/(кг К);

r - плотность в .

Подставляя этот результат в формулу (1.27) и учитывая, что на выходе давление атмосферное , получаем

. (1.30)

Выделив элементарный участок зазора длиной dx, можем записать по формуле (1.24)

(1.31)

После разделения переменных, интегрирования и несложных преобразований получим следующий закон распределения давления по длине зазора (см. эпюру давлений на рис. 8)

(1.32)

и расход (1.33)

Обозначим , (1.34)

где -расход через зазор, вычисленный в предположении .

Таким образом, окончательно получаем

. (1.35)

Рассмотрим еще один пример решения данного типа задач.

В рабочей полости, образованной обрабатываемой внутренней цилиндрической поверхностью и торцом установленного с радиальным зазором b обрабатывающего инструмента диаметром D и длиной L (рис.9) поддерживается избыточное давление .

Рис. 9. Гидросхема ЭХО внутренних поверхностей

Определить расход жидкости через кольцевую щель при концентричном расположении обрабатываемой поверхности и инструмента, учитывая зависимость вязкости рабочей жидкости от давления и температуры. При расчете для рабочей жидкости принять:

С = 2,1 - удельная теплоемкость;

; - вязкость рабочей жидкости при давлении ;

D = 100 мм; L = 160 мм; b = 0,1 мм;

; - опытные коэффициенты, различные для различных жидкостей;

Выделим бесконечно малый кольцевой элемент жидкости, протекающей в радиальном зазоре между поршнем и цилиндром, и составим уравнение его движения

(1.36)

где r - расстояние от центральной оси до границы выделенного кольцевого элемента;

dr - толщина кольца;

dx - длина кольцевого элемента;

t - касательное напряжение вязкого трения.

После преобразований в уравнении (1.36) и без учета члена , имеющего более высокий порядок малости по сравнению с остальными членами, получим дифференциальное уравнение в виде

(1.37)

Касательное напряжение t определяется из закона вязкого трения Ньютона, который при изменении вязкости с давлением и температурой можно представить в виде

, (1.38)

где - (1.39)

динамический коэффициент вязкости при давлении p и температуре t;

- динамический коэффициент вязкости при давлении и температуре ;

и - опытные коэффициенты, различные для различных жидкостей;

u - локальная скорость течения.

Если принять, что при движении жидкости работа сил трения полностью переходит в тепло, а теплообмен между жидкостью и элементами конструкции отсутствует, то можно записать

, (1.40)

где С - удельная теплоемкость;

r - плотность жидкости;

р - избыточное давление на выходе из зазора.

По условию задачи = 1 , т. е. атмосферное, и, соответственно, р = 0. С учетом этого обстоятельства уравнение (1.40) принимает вид

. (1.41)

Решая совместно уравнения (1.39) и (1.41), получим

. (1.42)

При осевом установившемся движении жидкости в кольцевом канале можно считать, что , и . В этом случае функция в соответствии с уравнением (1.42) также будет не зависящей от координаты r. Разделяя переменные в уравнении (1.37) с учетом уравнения (1.38) и интегрируя его по координате r, будем иметь

(1.43)

Постоянные интегрирования и находятся из граничных условий, которые требуют, чтобы при и u = 0. При этом уравнение (1.43) принимает вид

. (1.44)

Интегрируя скорость, описываемую уравнением (1.44) по сечению кольцевого зазора, получим выражение для определения расхода жидкости

. (1.45)

Поскольку давление р является функцией только координаты x, то . Разделяя переменные в уравнении (1.45) и интегрируя его с учетом выражения (1.42), получим уравнение для определения расхода жидкости через кольцевую щель с учетом изменения вязкости жидкости в зависимости от температуры и давления в виде

.

(1.46)

Подставляя численные значения величин в уравнение (1.46), находим

1.2.2. Задача № 3 для самостоятельного решения.

В цилиндр диаметром D (рис. 10) помещен поршень с четырьмя прорезями прямоугольного сечения (s х b).

Рис.10. Гидросхема ЭХО прямоугольных пазов

Пренебрегая потерями напора на входе и выходе, определить расход рабочей жидкости с динамической вязкостью m = 1,5 П по четырем прорезям из левой полости цилиндра, избыточное давление в которой равно Р, в правую, где давление равно атмосферному. Полученный результат сравнить с расходом через кольцевую щель той же площади. Другие исходные данные для решения задачи приведены в приложении 3.

1.2.3. Задача № 4 для самостоятельного решения.

Торцовый зазор между поверхностью диска диаметром и плоскостью составляет величину b (рис. 11).

Рис. 11. Гидравлическая схема ЭХО наружных поверхностей

Рабочая жидкость, динамическая вязкость которой равна = 1,5 П, подается к центру зазора по трубке с внутренним диаметром и под избыточным давлением . Требуется:

1) построить эпюру давления по радиусу r диска;

2) вычислить силу давления рабочей жидкости на диск;

3) вычислить расход рабочей жидкости через зазор (скоростными напорами и потерей входа в зазор пренебречь).

Другие исходные данные для решения задачи приведены в приложении 4.

1.3. Гидропневматические приводы технических систем

В соответствии с выполняемыми функциями элементов в гидро- или пневмосистеме можно выделить: источник питания, цепи управления и исполнительные устройства. От источника питания производится снабжение остальных частей системы рабочей средой под давлением. Цепи управления представляют собой совокупность устройств, предназначенных для преобразования и передачи сигналов к исполнительным устройствам. Цепь управления и исполнительное устройство образуют гидравлический привод, если рабочей средой служит жидкость, и газовый (пневматический) привод, если рабочей средой является газ.

Методика расчета гидропневмоприводов базируется на балансе напоров потока в гидросистеме с включенным в нее насосом. При установившемся движении жидкости в трубопроводе и без учета малых скоростных напоров это соотношение имеет вид

(1.47)

где - потребный напор, т.е. энергия, которую необходимо сообщить единице веса жидкости для ее перемещения в гидросистеме при заданном расходе;

- статический напор, т. е. разность гидростатических напоров жидкости в конечных точках гидросистемы;

- сумма потерь напора в гидросистеме.

При установившемся режиме работы, когда расход в системе трубопроводов не меняется со временем, развиваемый насосом напор равен потребному напору гидросети, т. е.

. (1.48)

Задачи о работе насосов на сеть подразделяются на две основные группы:

1) Подбор насоса для данной гидросистемы при требуемой подаче . Решение таких задач основано на вычислении потребного напора и, следовательно, напора насоса . Величины и являются исходными для подбора соответствующего насоса и его двигателя.

2) Определение режима работы данного насоса в гидросистеме. Решение таких задач основано на совместном рассмотрении характеристик насоса и гидросистемы. Для решения задачи в координатах Q - Н строятся в одинаковом масштабе рабочая характеристика насоса и характеристика гидросети , представляющая зависимость потребного напора от расхода при заданном статическом напоре . При этом, величина статического напора помимо разности гидростатических напоров в конечных точках гидросистемы также включает в себя изменение гидростатического напора под действием активной внешней нагрузки, воздействующей на выходное звено гидродвигателя. Так, при использовании в качестве гидродвигателя силового гидроцилиндра дополнительное изменение гидростатического напора сети будет составлять:

(1.49)

где R - величина внешней нагрузки, воздействующей на шток-поршень силового гидроцилиндра;

- удельный вес рабочей жидкости;

S - активная площадь шток-поршня силового гидроцилиндра.

Для гидроцилиндра с односторонним шток-поршнем и противодействующей выдвижению штока внешней нагрузкой величина активной площади будет равна

, (1.50)

где и - площади поршня и штока гидроцилиндра, соответственно.

Для гидродвигателя в виде гидромотора дополнительное изменение гидростатического напора сети будет равно

(1.51)

где M - внешний крутящий момент (нагрузка) гидромотора;

- рабочий объем гидромотора.

Характеристика гидросети выражается уравнением (1.47), в котором - характеристика трубопровода, т. е. зависимость суммарных потерь напора в трубопроводе на преодоление местных гидравлических сопротивлений и сопротивлений трения по длине трубопровода от расхода жидкости. В машиностроительной гидравлике для учета суммарных гидропотерь обычно применяют общую формулу в виде

(1.52)

где величина k, называемая сопротивлением трубопровода, и показатель степени m имеют различные значения в зависимости от режима течения жидкости в трубопроводе. Для ламинарного режима течения:

и m = 1; (1.53)

для турбулентного режима течения:

и m = 2, (1.54)

где = ; - эквивалентная длина трубопровода;

- коэффициент Дарси (потерь на трение) при турбулентном режиме течения жидкости в трубопроводе.

При этом все потери следует приводить к расходу в нагнетательной линии гидродвигателя.

Если гидросистема представляет собой сложный трубопровод, т. е. содержит участки, соединенные между собой последовательно и (или) параллельно, то при решении задачи сложный трубопровод вначале разбивается на ряд простых, рассчитываются и строятся характеристики каждого из простых трубопроводов, затем производится сложение характеристик простых трубопроводов, причем сначала соединенных параллельно, а затем - последовательно. В результате получают суммарную кривую потребного напора для всей гидросистемы как при ламинарном, так и при турбулентном режимах течения жидкости.

Режим работы насоса в гидросистеме определяется его рабочими характеристиками, представляющими собой графические зависимости напора насоса, потребляемой им мощности и КПД от подачи насоса при постоянной частоте вращения. У объемных насосов (поршневых, роторных и др.) их подача почти не зависит от напора, поэтому ее регулирование осуществляют либо изменением частоты вращения насоса, либо применением специальных насосов переменной производительности, у которых на ходу изменяется рабочий объем насоса. Существует и более простой, хотя и менее экономичный способ регулирования подачи за счет перепуска жидкости со стороны нагнетания на сторону всасывания насоса. Для этой цели применяют различные регулируемые дроссели и переливные клапаны, а также автоматы разгрузки и другие специальные устройства. При стационарном режиме работы подача насоса и развиваемый им напор определяются точкой пересечения характеристик насоса и гидросистемы (суммарной характеристики потребного напора), в которой выполняется условие (1.48), после чего нетрудно определить скорости гидродвигателей, находя соответствующие им расходы, а также развиваемую ими мощность в соответствии с уравнением

, (1.55)

где R - величина полезной внешней нагрузки на гидродвигатель;

- скорость перемещения выходного звена гидродвигателя.

Зная КПД насоса , можно найти приводную мощность насоса в соответствии с уравнением

(1.56)

где - напор и подача насоса в рабочей точке (точке пересечения характеристик насоса и потребного напора).

1.3.1. Пример решения задачи.

Пусть насос 1 гидросистемы продольной подачи рабочего стола металлорежущего станка (МРС) нагнетает масло “Индустриальное 20” при температуре Т = 60 через гидрораспределитель 2 в силовой гидроцилиндр 3, шток которого нагружен силой F (рис. 6). Диаметр поршня гидроцилиндра , штока - . КПД гидроцилиндра: механический - объемный - . Напорные и сливные гидролинии между агрегатами выполнены новыми стальными холоднотянутыми трубами с эквивалентной шероховатостью длиной L и диаметром d.

Определить скорость перемещения стола МРС при рабочем ходе (движение поршня гидроцилиндра вправо). Кинематический коэффициент вязкости рабочей жидкости n = 0,14 Ст (Т = 60 ), плотность - (Т = 50 ), коэффициент температурного расши-

Рис. 12. Гидросхема продольной подачи стола МРС

рения - . Характеристика насоса задана в табл. 2. Местные сопротивления в гидросистеме учитывать только для гидрораспределителя 2 (). F = 25 кН; = 100 мм; = 50 мм; L = 150 см; d = 15 мм.

Таблица 2

Характеристика насоса

	0,00	1,50	1,65
	4,00	3,00	0,00

Преобразуем гидравлическую схему подачи рабочего стола МРС, приведенную на рис. 12, к расчетной путем подразделения ее на два участка простых трубопроводов, соединенных между собой последовательно через местное сопротивление в виде силового гидроцилиндра. При решении задачи используем графоаналитический метод решения с построением характеристик трубопроводов, сети и насоса. Как известно, потери напора в простом трубопроводе определяются выражением

, (1.57)

где - статический напор на выходе из простого трубопровода;

k и m - параметры, зависящие от режима движения жидкости.

Критерием смены режимов течения является число Рейнольдса

Re = vd/n = 4Q/pdn. (1.58)

При достижении критического значения числа Рейнольдса = 2300 величина критического расхода жидкости будет равна

, (1.59)

где d - диаметр трубопровода;

n - кинематический коэффициент вязкости.

При докритических расходах () потери напора на трение и местные сопротивления составляют

, (1.60)

где l - длина трубопровода;

- эквивалентная длина трубопровода, определяемая уравнением

. (1.61)

При сверхкритических расходах () потери напора на трение и местные сопротивления находят по уравнению

, (1.62)

где коэффициент вязкого трения Дарси l определяется в зависимости от характера течения жидкости в трубопроводе (гидравлически гладкие или шероховатые трубы).

Для гидравлически гладких труб при

. (1.63)

При коэффициент Дарси находят по уравнению

. (1.64)

При имеем полностью шероховатые трубы и

. (1.65)

Статический напор на конце трубопровода характеризует собой потери напора на местное сопротивление в виде силового гидроцилиндра и определяется выражением

, (1.66)

где r - плотность жидкости;

F - внешняя нагрузка;

- диаметры поршня и штока.

Плотность жидкости изменяется с температурой в соответствии с зависимостью

, (1.67)

где - изменение температуры от исходной.

Подставляя численные значения в уравнения (1.57)-(1.67) для первого участка простого трубопровода (от насоса через гидрораспределитель до входа в силовой гидроцилиндр) будем иметь

.

.

(м).

При (ламинарный режим течения) имеем

(м).

. (1.68)

При (турбулентный режим течения) предельное значение числа Рейнольдса определяют по максимальному расходу насоса

;

,

и, согласно выражению (1.64) (2000 12505 112000), коэффициент Дарси будет равен

.

(м).

(м). (1.69)

Характеристики второго участка простого трубопровода (от выхода из силового гидроцилиндра через гидрораспределитель до слива в масляный бак) будут идентичными характеристикам первого участка, только без статического напора (на сливном конце трубопровода нагрузка отсутствует). Характеристики сети первого и второго участков простых трубопроводов, описываемых уравнениями (1.68) и (1.69), представлены на рис. 13 кривыми 1 и 2.

Осуществляя графическое сложение характеристик соединенных последовательно простых трубопроводов получаем суммарную характеристику сети (рис. 13, кривая 1+2). Накладывая на суммарную характеристику сети характеристику насоса (рис. 13, кривая 3), получаем рабочую точку А, показывающую величину подачи рабочей жидкости насосом в сеть, т. е. .

Рис. 13. Характеристика сети и насоса

Скорость перемещения стола МРС при рабочем ходе будет определяться выражением

. (1.70)

Подставляя численные значения, находим

.

1.3.2. Задача № 5 для самостоятельного решения.

В установке гидравлического пресса (рис. 14) насос 1 засасывает масло “Индустриальное 50” при температуре Т = 60 из бака 2 и через трехпозиционный гидрораспределитель 3 нагнетает его в силовой гидроцилиндр 5 пресса.

Рис. 14. Расчетная схема гидравлического пресса

При прессовании жидкость по трубопроводу подается в правую сторону мультипликатора 4. При возвращении подвижного инструмента пресса в исходное верхнее положение жидкость подается по трубопроводу в силовой гидроцилиндр 5 шток-поршень которого при этом перемещается вверх и, вытесняя жидкость по трубопроводу, заправляет ею мультипликатор 4. Объемные потери жидкости компенсируются насосом 1 через обратный клапан 6.

Определить полезную мощность силового гидроцилиндра 5 при его рабочем ходе (при движении поршня вниз), если создаваемое насосом давление , а подача - . Диаметры: поршня - , штока - . КПД гидроцилиндра: механический - объемный - Диаметр поршня подвижного элемента мультипликатора: большого - , малого - . КПД мультипликатора (механический и объемный) принять равным единице. Разводка гидролиний выполнена новыми стальными сварными трубами с эквивалентной шероховатостью диаметром d и длиной между агрегатами L = 2 м. В расчете учесть местные гидравлические сопротивления в фильтре 8 () и гидрораспределителе 3 (), принимая, что сопротивления обоих каналов распределителя одинаковые. Кинематический коэффициент вязкости жидкости при Т = 60 принять n = 0,38 Ст. Плотность жидкости при Т = 50 составляет r = 910 , коэффициент температурного расширения жидкости - . Другие исходные данные для решения задачи приведены в приложении 5.

1.3.3. Задача № 6 для самостоятельного решения.

Принципиальная схема гидропривода прижима инструмента к упору, например, при шлифовании твердых сплавов, полировании, доводке, прессовании и т. п. приведена на рис. 15.

В приведенной схеме усилие прижима детали регулируется сопротивлением - дросселем 3, включенным параллельно гидроцилиндру 4. В зависимости от степени открытия дросселя 3 меняется характеристика системы и, следовательно, местоположение рабочей точки. При этом меняется развиваемое насосом 1 давление и усилие прижима. Диаметр цилиндра одностороннего действия - .

Рис. 15. Схема гидропривода прижима инструмента

Определить усилие F прижима детали к упору, если открытие дросселя 3 - S.

Номинальный расход насоса , номинальное давление = 6,3 МПа, объемный КПД насоса .

Характеристика предохранительного клапана: при Q = 0 Р = , при Q = Р = 1,2 . Две заданные точки характеристики предохранительного клапана можно соединить прямой линией.

В качестве рабочей жидкости принять масло “Индустриаль-ное 30” при Т = 60 , кинематический коэффициент вязкости которого n = 0,21 Ст, а плотность при Т = 50 составляет r = 901 . Коэффициент температурного расширения рабочей жидкости принять . Суммарный коэффициент местных гидропотерь в гидросистеме принять , потери давления в распределителе 2 составляют МПа. Разводка гидролиний между агрегатами выполнена стальными трубами с эквивалентной шероховатостью = 0,01 диаметром d и длиной L = 1,9 м. Коэффициент расхода рабочей жидкости при истечении ее через дроссель 3 принять . Другие исходные данные для решения задачи приведены в приложении 6.

Приложение 1

Варианты исходных данных для расчета к задаче № 1

№№	П а р а м е т р ы
вар.	R, кН	D, мм	Спр., Н/см	Ро, МПа
1.
2.
3.
4.
5.
6.	5,0
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.	7,5
19.
20.
21.
22.
23.
24.

Приложение 2

Варианты исходных данных для расчета к задаче № 2

№№	П а р а м е т р ы
вар.
1.
2.				1,5
3.
4.
5.				2,0
6.
7.
8.				1,5
9.
10.
11.				2,0
12.
13.
14.				1,5
15.
16.
17.				2,0
18.
19.
20.				1,5
21.
22.
23.				2,0
24.

Приложение 3

Варианты исходных данных для расчета к задаче № 3

№№	П а р а м е т р ы
вар.	D, мм	L, мм	s, мм	b, мм	Р, кПа
1.
2.			1,5	3,0
3.
4.
5.			2,0	2,5
6.
7.			1,5	3,0
8.			1,5	3,0
9.
10.
11.			2,0	2,5
12.
13.
14.			1,5	3,0
15.
16.
17.			2,0	2,5
18.
19.
20.			1,5	3,0
21.
22.
23.			2,0	2,5
24.

Приложение 4

Варианты исходных данных для расчета к задаче № 4

№№	П а р а м е т р ы
вар.	, мм	, мм	b, мм	, кПа
1.
2.			0,8
3.		5,0
4.
5.			1,0
6.
7.
8.			0,8
9.		8,0
10.
11.			1,0
12.
13.
14.			0,8
15.		5,0
16.
17.			1,0
18.
19.
20.			0,8
21.		8,0
22.
23.			1,0
21.

Приложение 5

Варианты исходных данных для расчета к задаче № 5

№№	П а р а м е т р ы
вар.	Q,л/с	Р,МПа	,мм	,мм	,мм	,мм	d,мм
1.
2.
3.
4.	0,33	6,5
5.
6.
7.
8.
9.
10.	0,42	5,0
11.
12.	0,42	5,0
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.	0,5	3,5
21.
22.
23.
24.

Приложение 6

Варианты исходных данных для расчета к задаче № 6

№№			Параметры
вар.	, л/мин	, мм	d, мм	S,
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.

Дата добавления: 2015-07-15