Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Читайте также:
  1. BG: Как выдумаете, после всего, что Керриган совершила и перенесла, с таким бременем на плечах, есть ли у неё хотя бы крошечный шанс на нормальную человеческую жизнь?
  2. III. Расстояние между точкой и плоскостью
  3. Административные правонарушения, посягающие на нормальную деятельность таможенных органов.
  4. Базирование по наружной цилиндрической поверхности в призму
  5. В три-четыре раза выше их нормального ритма
  6. Воздушные пузыри, появившиеся на поверхности мастичного покрытия, сразу сбивают факелом струи, направленной под углом
  7. Выбор и обоснование материала корпуса, минимальной толщины, нормальная шпация

 

Пусть , , - уравнение поверхности (см. рисунок 10.8). Кривые , являются сечениями поверхности соответственно плоскостями , . В этих плоскостях в точке , , к каждой кривой сечений проведем касательные прямые. Пусть прямая является перпендикулярной касательным и проходит через точку . Все прямые, проходящие через точку перпендикулярно прямой , образуют плоскость , которая по определению есть касательная плоскость к поверхности в точке . Прямая называется нормальной прямой, или нормалью, к поверхности в точке .

 

 

 

Рисунок 10.8

 

Получим уравнение касательной плоскости.

Пусть функция дифференцируема в точке . На кривых и имеем точки , . Пусть - произвольная точка плоскости , которой принадлежит треугольник .

Векторы , , расположены в плоскости . Запишем необходимое и достаточное условие компланарности этих векторов:

 

.

 

Раскрыв определитель, получим равенство

 

,

 

которое после преобразований запишем в виде

 

.

 

Если точки , вдоль соответствующих кривых устремить к точке , что равносильно и , и вследствие этого , , то плоскость совместиться с касательной плоскостью . Тогда уравнение касательной плоскости получит вид:

 

.

 

Отметим, что являются координатами точек касательной плоскости.

Если это уравнение записать в виде

 

,

 

то можно найти координаты вектора ортогонального касательной плоскости: . Примем вектор за направляющий вектор нормальной прямой , проходящей через точку , и запишем канонические уравнения прямой :

 

.

 

Пусть уравнение поверхности задано уравнением с функцией , имеющей непрерывные частные производные в окрестности точки и значение . Тогда в силу теоремы 10.20 в окрестности точки уравнение поверхности можно выразить функцией . Этим самым обосновано существование касательной плоскости в точке . Применив формулы для частных производных функции , найдем их значения:

 

, .

 

Исключим и из уравнения касательной плоскости и после преобразований получим:

 

.

 

Последнее уравнение называют уравнением касательной плоскости в точке к поверхности , заданной неявным уравнением .

Аналогично получаем канонические уравнения нормальной прямой , проходящей через точку поверхности с неявным уравнением . Эти уравнения имеют вид:

 

.

 

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормальной прямой к эллипсоиду

 

 

в точке .

Поверхность задана неявным уравнением. Положим и вычислим значения частных производных функции в точке .

 

, , .

 

Составим уравнение касательной плоскости и преобразуем полученное уравнение к общему виду:

 

, .

 

Найдем канонические уравнения нормальной прямой. Координаты направляющего вектора выберем из уравнения касательной плоскости.

 

.

 

Для существования касательной плоскости в точке к поверхности, которая задана неявным уравнением , достаточно отличия от нуля хотя бы одной частной производной функции в точке .

 


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 152 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Последовательности точек. Предел последовательности | Понятие функции нескольких переменных | Предел функции в точке | Повторный предел функции в точке | Примеры. | Непрерывность функции нескольких переменных в области | Частные производные функции нескольких переменных | Дифференцируемые функции. Дифференциал | Производные сложной функции | Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Неявные функции| Производная по направлению. Градиент

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.012 сек.)