Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Частные производные функции нескольких переменных

Читайте также:
  1. A. ФУНКЦИИ КНОПОК БРЕЛКА
  2. Analize®Compare Means®Paired-Samples T Test (удерживая Ctrl, выберите в списке переменных v7 и v26 и перенесите их в окно «Paired Variables»)®Ok
  3. II. Основные задачи и функции деятельности ЦБ РФ
  4. II. Основные задачи и функции медицинского персонала
  5. II.4. Механизм действия ингибиторов АПФ при эндотелиaльной дисфункции.
  6. III. Функции и полномочия контрактной службы
  7. IV. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ

 

Пусть точка является внутренней для области , в которой определена функция . По определению величина есть приращение функции в точке по переменной . Величину рассматриваем как функции переменной . Для краткости эту величину будем обозначать символами , или .

Если существует предел

 

,

 

то он называется частной производной функции по переменной в точке .

Для такой частной производной также применяются обозначения

 

, , , и , .

 

Отметим, что частная производная есть обычная производная функции , если понимать эту функцию как функцию одной переменной при фиксированных значениях переменной .

Совершенно аналогично определяется частная производная функции по переменной . Приведем основное. Частная производная по переменной есть предел

 

,

 

где есть приращение функции в точке по переменной . Обозначения:

 

, , , и , .

 

Производная есть обычная производная по переменной , если функцию понимать как функцию только переменной .

Производные и называются частными производными первого порядка функции в точке .

Выясним геометрический смысл частных производных первого порядка.

Пусть существует производная , а , , - уравнение поверхности (см. рисунок 10.4).

 

Рисунок 10.4

 

Пусть кривая является сечением поверхности плоскостью . В этой плоскости в точке , где , проведем касательную прямую. Тогда для угла наклона касательной к оси имеем . В этом и состоит геометрический смысл частной производной .

Определим теперь частные производные функции порядков выше первого.

Если функция в каждой точке области имеет производные , , то их можно рассматривать как новые функции и вычислять их частные производные. Такие производные называются частными производными функции второго порядка в точке . Приведем это определение для всех частных производных второго порядка.

 

, ,

 

, .

 

Производные и называются смешанными производными второго порядка функции в точке .

Приведем и другие обозначения частных производных второго порядка:

 

, , , .

 

Вообще, частной производной - го порядка функции в точке называется производная по какой-нибудь переменной от некоторой производной - го порядка. Частная производная порядка , взятая по различным переменным, называется смешанной производной порядка . Например, если есть производная второго полрядка, то или есть частная производная третьего порядка. Выражение , , означает частную производную, которая получается дифференцированием раз по переменной , потом раз по переменной , наконец, раз по переменной .

Пример. Вычислить значение смешанной производной третьего порядка в точке , если .

Сначала найдем производную в произвольной точке.

 

,

 

,

 

.

 

Теперь вычислим значение производной в заданной точке.

 

.

 

При достаточно общих условиях результат дифференцирования по различным переменным не зависит от выбора порядка переменных, по которым происходит дифференцирование.

Теорема 10.13. Если функция определена вместе со своими частными производными , , и в некоторой окрестности точки и производные и непрерывны в этой точке, то

 

.

 

Доказательство. Рассмотрим приращение функции по переменной .

 

 

.

 

Переставим местами средние слагаемые:

 

 

.

 

Получили равенство повторных приращений

 

.

 

Введем новую функцию . Тогда

 

.

 

Применим формулу конечных приращений Лагранжа

 

, .

 

Поскольку , то, применив формулу конечных приращений Лагранжа к функции , получим:

 

 

, .

 

Аналогично,

 

, , .

 

В силу равенства повторных приращений и имеем:

 

.

 

Отсюда при и

 

.

 

Перейдя к пределу при , в последнем равенстве, в силу непрерывности смешанных производных в точке получим:

 

.

 

Теорема доказана.

Эта теорема распостраняется на любые непрерывные смешанные производные, которые отличаются друг от друга только порядком дифференцирования. Приведем пример.

 

.

 


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 137 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Предварительные определения | Последовательности точек. Предел последовательности | Понятие функции нескольких переменных | Предел функции в точке | Повторный предел функции в точке | Примеры. | Производные сложной функции | Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных | Неявные функции | Касательная плоскость и нормаль к поверхности |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Непрерывность функции нескольких переменных в области| Дифференцируемые функции. Дифференциал

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.019 сек.)