Определение оптимальной импульсной переходной функции

Задачу определения оптимальной струк­туры линейной САУ можно решать не только в частот­ной, но и во временной области. В последнем случае ее решение сводится к нахождению такой импульсной пере­ходной функции k(t), при которой обеспечивается

(2.48)

По определению

, (2.49)

(2.50)

Выходной сигнал y(t) можно выразить через входной и импульсную переходную функцию системы

(2.51)

и

(2.52)

Подставляя (2.51) и (2.52) в (2.50), а последнее в (2.49), получим

(2.53)

где

— среднее значение квадрата предписанного выходного сигнала;

— взаимно-корреляционная функция между предписан­ным выходным и входным сигналами:

— корреляционная функция входного сигнала.

Учитывая приведенные обозначения, (2.53) можно за­писать в виде выражения

(2.54)

устанавливающее связь z²(t) с импульсной переходной функцией системы и заданными корреляционными функ­циями , , .

Для определения импульсной переходной функции . минимизирующей СКО, обозначим

, (2.55)

где — произвольная, физически реализуемая им­пульсная переходная функция; — переменный параметр.

При подстановке (2.55) в (2.54) среднее значение квадрата ошибки оказывается функцией параметра , поэтому для нахождения минимума z²(t) необходимо отыскать при . Последнее вытекает из условия (2.55), из которого следует, что и только при .

Следовательно,

(2.56)

Ввиду четности корреляционной функции

Полагая в (2.56) и учитывая последнее соотно­шение, найдем

. (2.57)

Так как отлично от нуля, исключая конечное чис­ло значений , (2.57) справедливо при условии [30]

при (2.58)

Данное интегральное уравнение, называемое уравнением Винера — Хопфа, определяет оптималь­ную импульсную переходную функцию системы, обеспе­чивающую минимум СКО.

Условие (2.58) можно записать при в виде

, (2.59)

из которого следует, что импульсная переходная функция будет оптимальной, если реакция системы на входной сигнал, равный корреляционной функции реально­го входного сигнала, равна взаимно-корреляционной функции предписанного выходного и реального входного сигналов.

Решение уравнения (2.58) в общем случае во времен­ной области затруднительно. Поэтому часто его решают в частотной области, т. е. находят оптимальную переда­точную функцию, как приведено в § 2.3. Для ряда част­ных случаев можно воспользоваться рассмотренной ме­тодикой определения оптимальной системы во временной области.

Пример 2.4. [24]. Пусть на входе САУ действует сигнал прямоугольной формы величиной . Нулевые точки его распределены по закону Пуассона со средней частотой . На выходе необходимо получить такой же сигнал, но сдвинутый на величину , т. е.

, (2.60)

где может быть положительной и отрицательной ве­личиной.

Необходимо определить оптимальную импульсную переходную функцию системы.

Для решения задачи в соответствии с уравнением (2.58) нужно найти и . Из условия задачи

.

Взаимно-корреляционная функция

. (2.61)

Подставляя значение (2.60) в уравнение (2.61), по­лучим

. (2.62)

Оптимальная импульсная переходная функция при

,

а при

.

Пример 2.5. В частном случае, когда входной сигнал п, т. е. сумма задающего воздействия и помехи яв­ляется белым шумом и , уравнение (2.59) при учете свойств - функции приводится к линейному алгебраическому уравнению

.

Импульсная переходная функция в этом случае опре­деляется выражением

, .

Дата добавления: 2015-07-15