Оптимальная полоса пропускания САУ

Прежде чем рассматривать задачи стати­стического синтеза оптимальной системы, целесообразно выяснить физический смысл приближения системы к это­му состоянию.

Рис 2.1. Графики частотной характеристики (а) и спектральной плотности задающего воздействия и помех (б)

Покажем это, рассматривая замкнутую систему как идеальный фильтр, для которого (рис. 2.1, а)

(2.2)

и пользуясь известным выражением для среднего квад­рата суммарной ошибки САУ в предположении, что задающее воздействие и помеха приложены к одному входу системы, т. е.

(2.3)

С учетом (2.2) уравнение (2.3) можно записать в виде

(2.4)

Выражение (2.4) показывает, что величина установившейся ошибки от задающего воздействия в идеализированной системе определяется той частью спектральной плотности задающего воздействия, которая не воспроизводится системой вследствие ограниченной полосы пропускания (на рис. 2.1,б эта ошибка характеризуется заштрихованной площадью 1). Увеличив полосу пропускания , можно, следовательно, уменьшить .

Дисперсия ошибки, обусловленной помехой, для такой идеализированной системы определяется той частью спектральной плотности помех, которая воспроизводится системой (на рис. 2.1,б эта ошибка характеризуется площадью 2). Уменьшая полосу пропускания системы можно уменьшить величину .

Для нахождения оптимального значения полосы пропускания системы необходимо исследовать на минимум выражение (2.4).

Дифференцируя уравнение (2.4) по пределу и приравнивая результат нулю, получим

(2.5)

откуда

(2.6)

Это означает, что минимум среднего квадрата ошибки будет при условии , когда спектральные плотности задающего воздействия и помехи оказываются равными. Значение отмечено на рис. 2.1,6 и на рис. 2.2. Рис. 2.2 показывает зависимость установившихся динамических и флуктуационных ошибок от полосы пропускания системы.

Так как закон изменения задающего воздействия заранее неизвестен и статистические характеристики воздействия и помех могут меняться, то оптимальная полоса системы не остается посто­янной, а меняется в зависимости от изменения указанных факторов.

Рис. 2.2. Зависимость уста­новившихся динамических и флуктуационных ошибок от полосы пропускания систе­мы

Очевидно, что для оптимизации системы необходи­мо менять параметры систе­мы в зависимости от изме­нения статистических харак­теристик сигналов и помех. САУ при неизменных во времени параметрах может обеспечивать минимум ошибки только в среднем.

Дата добавления: 2015-07-15