Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Система из m линейных уравнений с n неизвестными х₁, х₂, … х_n имеет вид

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +…+ a_1n x_n = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +…+ a_2n x_n = b₂

………………………………

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ +…+ a_mn x_n = b_m

где числа a_ij (i = 1,m; j = 1, n) называются коэффициентами системы, а числа b₁,b₂,…b_m

называют свободнымичленами. Решением системы линейных уравнений называется такой набор чисел (а₁,а₂,…а_n), что при его подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнений системы обращается в тождество.

Система линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных (m=n) и определитель системы не равен 0 (det A = Δ ≠ 0), имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера:

х₁ = Δ₁ / Δ; х₂ = Δ₂ / Δ …. х_n = Δ_n / Δ

где Δk – определитель, получаемый из определителя системы Δ заменой k-го столбца столбцом свободных членов.

Если Δ = 0 и хотя бы один из определителей Δ₁, Δ₂,... Δ_k отличен от нуля, то система не имеет решения (несовместна). Если Δ = 0 и Δ₁= Δ₂=...=Δ_k=0, то система либо не имеет решений, либо, если система имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много решений.

Матричная форма: система линейных уравнений при m=n имеет вид АХ=В, где

a₁₁ a₁₂ … a_1n x₁ b₁

A = a₂₁ a₂₂ … a_2n X = x₂ B = b₂

…………. … …

a_n1 a_n2 … a_nn x_n b_n

Дата добавления: 2015-07-15