Функциональные ряды. 1. Ряды Тейлора и Макларена.

1. Ряды Тейлора и Макларена.

Опр. Рядом Тейлора, порожденном функцией f(x) в точке x₀ называется степень ряда a_n=fⁿ(x₀)/n!

Если этот ряд с центром в 0, то ряд Тейлора называется рядом Макларена.

Пусть функция в интервале является суммой степенного ряда (30.1):

(30.5)

Найдем коэффициенты этого ряда. Продифференцируем последовательно тождество (30.5) и подставим в него x=x₀

Отсюда находим коэффициенты:

Подставляя их в (30.5), имеем

(30.6)

Полученный ряд называется рядом Тейлора для функции f(x),а в частном случае при x₀= 0 — рядом Маклорена:

(30.7)

Таким образом, если функция f(x) разлагается по степеням (x-x₀) то этот ряд называется рядом Тейлора и f(x) бесконечно дифференцируема в т. (x-x₀)

Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного ряда, то говорят, что она разлагается в степенной ряд.

2. Единственность разложения в степенной ряд.

Ф-я единственным образом раскладывается в степенной ряд. док-во:

Пусть . , . и т.д. .

3. Разложение элементарных функций

e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+…+xⁿ/n!+…

e^-x =1-x+x²/2!-x³/3!+…(-1ⁿ)xⁿ/n!+…

cosx=1-x²/2!+x⁴/4!-x⁶/6!+…+(-1ⁿ)x²ⁿ/2n!+…

sinx=x-x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7!+…+(-1ⁿ)x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+…

chx=1+x²/2!+x⁴/4!+x⁶/6!+…+x²ⁿ/2n!+…

shx=x+x³/3!+x⁵/5!+x⁷/7!+…+x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+…

lnx=x-x²/2+x³/3-x⁴/4+…+(-1ⁿ)xⁿ⁺¹/(n+1)+…

(1+x)^m=1+mx+m(m-1)x²/2!+…+(m(m-1)…(m-n+1)xⁿ)/n!+…

5. Тригонометрические ряды Фурье. Пусть отрезок имеет длину 2l. Для определенности, пусть это отрезок [-l,l].

Рассмотрим следующую систему функций: .

Теорема. Рассматриваемая система функций является ортогональной.

Доказательство. Требуется доказать, что при n≠ m, n,m= 0,1,… и что при всех n,m, n=0,1… m= 1,2…

Проверим первое из этих равенств. Остальные получаются совершенно аналогично.

т.к. sinπk=0 при k из Z.

Замечание. Легко вычислить, что на (-l,l) . Например, .

Предположим теперь, что f(x) определена на (-l,l) и периодически продолжена на всю числовую ось. Сопоставим ей ряд Фурье по тригонометрической системе: , где .

(Важнейший частный случай: l=π, тогда тригонометрическая система имеет вид

1,cosx,sinx,…,cosnx,sinnx. Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам и ряд Фурье, соответствующий f(x), есть

Принцип локализации. Взяв произвольное положительное число δ<π, разобьем интеграл

s_n(x₀)= ₀+t)+f(x₀-t)] на два: Если второй из них переписать в виде:

то станет ясно, что множитель при синусе является абсолютно интегрируемой функцией от t в промежутке [δ,π], т.к. знаменатель в этом промежутке в ноль не обращается. В таком случае по лемме этот интеграл при n→∞ стремиться к нулю, так что и само существование предела для частичной суммы ряда Фурье, s_n(x₀), и величина этого предела целиком определяются поведением одного лишь интеграла:

p_n(π)= ₀+t)+f(x₀-t)] Но в этот интеграл входят лишь значения функции f(x), отвечающие изменению аргумента в промежутке от x₀-δ до x₀+δ. Этим доказывается принцип локализации состоящий в следующем: Теорема Римана. Поведение Ряда Фурье функции f(x) в некоторой точке x₀ зависит исключительно от значений, принимаемых функцией в непосредственной близости рассматриваемой точки, т.е. в сколь угодно малой ее окрестности.

6. Признак Жордана-Дирихле.

Ряд Фурье функции f(x) в точке x₀ сходится к сумме S₀, если в некотором промежутке [x₀-h, x₀+h] с центром в этой точке функция имеет ограниченное изменение. Поведение частичной суммы s_n(x₀) при n→∞ определяется поведением интеграла p_n(δ), где за δ можно взять число h. Перепишем p_n(h) в виде:

p_n(h)= ₀+t)+f(x₀-t)] ·

Сумма в квадратных скобках, по предположению, есть функция с ограниченным изменением; частное представляет собой возрастающую функцию. Таким образом произведение их имеет ограниченное изменение и, следовательно, представляется в виде разности двух монотонно возрастающих функций. По лемме: Если функция g(x) монотонно возрастает, оставаясь ограниченной, в промежутке [0,h], где h>0, то

мы сразу получаем, что

(h)= · [f(x₀+0)+f(x₀-0)]=

Этим все доказано, т.к. в точке непрерывности полученное выражение само собою обращается в f(x₀).

Признак Дирихле. Если функция f(x) периода 2 кусочно-монотонна в промежутке [- , ] и имеет в нем не более, чем конечное число точек разрыва, то ее ряд Фурье сходится к сумме f(x₀) в каждой точке непрерывности и к сумме в каждой точке разрыва.

9. Неравенство Бесселя.

Неравенство для коэффициентов ряда Фурье по произвольной ортонормированной системе функций j_k (x) (k = 1, 2...), т.е. системе, определённой на некотором отрезке [а, b] и удовлетворяющей условиям (k¹ l) _k²(x)dx=1, _k(x)φ_i(x)dx = 0

Если функция f (x) измерима на отрезке [ а, b ], а функция f²(x) интегрируема на этом отрезке и

_kφ_k(x)

— ряд Фурье f (x) по системе j_k (x), то справедливо н. Б. _k ≤ ²(x)dx

10. Равенство Парсеваля.

Пусть дано гильбертово пространство(H,<·,·>), где <·,·> - скалярное произведение, определённое на множестве H. Обозначим ||x||=√<x,x> индуцированную этим скалярным произведением норму. Тогда если {e_k}^∞_k=1 - ортонормированный базис в H, то

||x||²= _k> |²

Представим функции f (x) и g (x) в виде их разложений в обобщенные ряды Фурье по полному набору функций φ_n(x), ортогональных на промежутке (a, b):

f(x)= _kφ_k(x) (1), g(x)= _nφ_n(x) (2),

где f_n и g_n – соответствующие коэффициенты Фурье:

f_n=1/||φ_n||^{2 *}_n(x)f(x)dx (3), g_n=1/||φ_n||^{2 *}_n(x)g(x)dx (4),

Тогда скалярное произведение функций f (x) и g (x) на промежутке (a, b) можно представить в виде:

Учитывая условие ортогональности

и свойство

дельта-символа Кронекера, получаем следующее равенство:

Если функции нормированы на единицу на промежутке (a, b), то

В частном случае, когда g (x) = f (x), из формулы (9) вытекает равенство Парсеваля:

11. Теорема о единственности ряда Фурье непрерывной функции. В пространстве С(-π,π)

Всякая функция φ(x), непрерывная на отрезке [-π,π] и удовлетворяющая условию φ(-π)=φ(π), есть предел равномерно сходящейся последовательности средних арифметических частичных сумм своего ряда Фурье.

В пространстве L₁(-π,π). Если все коэффициенты Фурье суммируемой функции φ(x) равны нулю, то сама функция φ(x) = 0(почти всюду). Из условия теоремы следует, что все члены ряда Фурье функции φ(x)=0; но тогда все s_n(x) равны нулю, все σ_n(x) равны нулю и по норме L₁

φ(x)= _n(x)=0.

Другим выражением того же св-ва служит утверждение: Если у двух интегрируемых функций φ(x) и ψ(х) все коэффициенты Фурье соответственно совпадают, то φ(x) почти всюду почти совпадает с ψ(х).

Для док-ва достаточно образовать разность f(x)= φ(x) - ψ(х); все коэффициенты Фурье по условию равны нулю, отсюда f(x) равна нулю почти всюду.

Дата добавления: 2015-07-15