Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия.

Читайте также:
  1. B. ПРОГРАММНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЙТРАЛЬНОГО ПОЛОЖЕНИЯ КОРОБКИ ПЕРЕДАЧ ДЛЯ АВТОМОБИЛЕЙ С НЕАВТОМАТИЧЕСКОЙ ТРАНСМИССИЕЙ (петля фиолетового провода должна быть перерезана)
  2. F93.0 Тревожное расстройство в связи с разлукой в детском возрасте.
  3. I. Измерение частотной характеристики усилителя и определение его полосы пропускания
  4. I. Союзы причинности и союзы логической связи
  5. II.4 Схемы межкаскадной связи
  6. III. Определение соответствия порядка учета требованиям специальных правил, обстоятельств, затрудняющих объективное ведение бухгалтерской отчетности.
  7. III.2. Классификация видов обратной связи.

 

Определение. Число n называется размерностью линейного пространства V, а само пространство V называется n-мерным, если в V существует линейно независимая система из n векторов, а любая система из (n + 1)-го вектора линейно зависима. Размерность пространства по определению считается равной нулю.

Следствие. В n -мерном пространстве любая система из m векторов при m>n линейно зависима.

Размерность линейного пространства V сокращенно обозначается . Если , то пространство будем обозначать . Линейные n -мерные пространства называются конечномерными.

Определение. Линейное пространство V называется бесконечномерным, если в V найдется линейно независимая система из n векторов.

Теорема 3.2. Для того чтобы линейное пространство было n -мерным, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовал базис, состоящий из n векторов.

Замечание. При доказательстве необходимости мы одновременно показали, что в n -мерном пространстве любая линейно независимая система из n векторов является базисом.

Следствие. Любой базис конечномерного линейного пространства V содержит одинаковое количество векторов.

Теорема 3.3. В n- мерном линейном пространстве любую линейно независимую систему из m векторов при m < n можно дополнить до базиса.

7. как пример аффинного, евклидова и метрического пространств.

Определение. Пусть А – множество элементов произвольной природы, V – действительное линейное пространство. А называется аффинным пространством, связанным с линейным пространством V, если задан закон, по которому каждой паре элементов , где , ставится в соответствие элемент , причем выполняются две аксиомы.

1*. (рис. 3.1).

2*. единственный такой, что . Этот вектор обозначается . Таким образом, (рис. 3.2).

Элементы аффинного пространства называются точками, а операция в аффинном пространстве называется откладыванием вектора от точки.

 

       
   
 

 


Рис. 3.1Рис. 3.2

 

Как видим, аксиомы аффинного пространства просто «списаны» со школьного точечного трехмерного пространства.

35.Определение матрицы перехода и её свойства.

Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:

(3.41)

и

. (3.42)

Принадлежность вектора второму базису отмечается штрихом, причем удобно штрих ставить не на вектор, а на индекс, например, – пятый вектор второго базиса. Тогда каждый из векторов второго базиса можно разложить по первому. Все координаты будем обозначать одной и той же ключевой буквой t с двумя индексами: нижним индексом обозначим номер разлагаемого вектора, а верхним – номер координаты. Таким образом,

(3.43)

Учитывая нашу договоренность, систему равенств (3.43) можно сокращенно записать одним равенством:

(3.44)

(оцените красоту записи!)

Введем следующие обозначения:

(подчеркиваем, что это матрицы-строки)

.

Тогда =[располагаем по правилу цепочки] = , откуда вытекает, что

. (3.45)

Матрицей перехода от базиса (3.41) к базису (3.42) называется матрица Т = , столбцами которой являются координатные столбцы векторов второго базиса в первом базисе, т. е. матрица, удовлетворяющая системе равенств (3.43) или (3.44), либо одному матричному равенству (3.45).


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 148 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Сложение матриц | Умножение матрицы на число | Определение определителя квадратной матрицы | Основные леммы об определителях | Основные свойства определителей | Правило Крамера решения систем линейных уравнений | Однородные системы линейных уравнений | Простейшие следствия из аксиом. | Простейшие свойства линейной зависимости | Операции над линейными операторами |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Матричный критерий линейной зависимости и независимости.| Определение матрицы линейного оператора.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)