Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Дифференцируемость и полный дифференциал функции

Читайте также:
  1. A. ФУНКЦИИ КНОПОК БРЕЛКА
  2. II. Основные задачи и функции деятельности ЦБ РФ
  3. II. Основные задачи и функции медицинского персонала
  4. II.4. Механизм действия ингибиторов АПФ при эндотелиaльной дисфункции.
  5. III. Функции и полномочия контрактной службы
  6. IV. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ
  7. IV. ФУНКЦИИ И ЭФФЕКТИВНОСТЬ КОНФЛИКТА.

 

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Составим полное приращение функции в точке :

.

 

Определение 2.3. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

, (2.3)

где и при .

Сумма первых двух слагаемых в равенстве (2.3) представляет собой главную часть приращения функции.

 

Определение 2.4. Главная часть приращения функции , линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом :

. (2.4)

 

Выражения и называются частными дифференциалами. Для независимых переменных и полагают и . Поэтому равенство (2.4) можно представить в виде

. (2.5)

 

Надо отметить, если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные и , причем , . Тогда формула для вычисления полного дифференциала примет вид:

. (2.6)

 

Для функции переменных полный дифференциал определяется выражением

. (2.7)

Пример 2.5. Найти полный дифференциал функции .

Решение. Находим частные производные первого порядка:

, , .

Согласно формуле (2.7) получаем

.

,

Полный дифференциал функции (формула (2.6)) называется также дифференциалом первого порядка.

Введем понятие дифференциала высшего порядка. Пусть функция имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле . Найдем его:

 

.

 

Итак,

. (2.8)

 

Аналогично можно получить формулы для дифференциала третьего и более высокого порядков.

 

Пример 2.6. Найти , если .

Решение. Находим частные производные первого порядка:

.

Находим частные производные второго порядка:

, , .

Согласно формуле (2.8) получаем

.

,

 


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 53 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Функции двух переменных | Предел и непрерывность функции двух переменных | Частные производные ФНП | Касательная плоскость и нормаль к поверхности | Экстремум функции двух переменных | Теорема 3.2 (необходимое условие экстремума). | В замкнутой области | Скалярное поле | Производная по направлению | Градиент |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Частные производные высших порядков| Производная сложной функции. Полная производная

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.008 сек.)