Свойства интегральной функции распределения

Перечислим свойства интегральной функции двумерной случайной величины без доказательства.

Свойство 1. Значение интегральной функции удовлетворяют двойному неравенству:

.

Свойство 2. есть неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.:

;

.

Свойство 3. Имеют место предельные соотношения:

;

;

;

.

Свойство 4. непрерывна слева по каждому из аргументов.

Свойство 5. а) При интегральная функция системы становится интегральной функцией составляющей X:

.

б) При интегральная функция системы становится интегральной функцией составляющей Y:

.

Выясним, как можно найти вероятность попадания точки в прямоугольник.

Рассмотрим прямоугольник ABCD со сторонами, параллельными координатным осям. Пусть уравнения сторон таковы:

.

Найдем вероятность попадания случайной точки (X; Y) в этот прямоугольник. Искомую вероятность можно найти, например, так: из вероятности попадания случайной точки на отрезок AB (эта вероятность равна ) вычесть вероятность попадания точки на отрезок CD (эта вероятность равна ):

. (5.6)

Мы задавали двумерную случайную величину при помощи интегральной функции. Непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь дифференциальной функцией распределения. Здесь и далее мы будем предполагать, что интегральная функция всюду непрерывна и имеет непрерывную смешанную частную производную второго порядка.

Определение 5.3. Дифференциальной функцией распределения двумерной непрерывной случайной величины называют вторую смешанную частную производную от интегральной функции:

. (5.7)

Зная дифференциальную функцию , можно найти интегральную функцию по формуле

, (5.8)

что непосредственно следует из определения дифференциальной функции.

Рассмотрим свойства дифференциальной функции, которые примем без доказательства.

Дата добавления: 2015-07-15