Теорема 4.4 (теорема Бернулли).

Если в каждом из независимых испытаний вероятность появления события постоянно, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности будет меньше по модулю положительного числа e, если число испытаний достаточно велико

. (4.8)

Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности ; другими словами, из теоремы Бернулли не вытекает равенство . В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

Таким образом, сходимость относительной частоты к вероятности отличается от сходимости в смысле обычного анализа. Для того чтобы подчеркнуть это различие, вводят понятие «сходимости по вероятности». Точнее, различие между указанными видами сходимости состоит в следующем: если стремится при к как пределу в смысле обычного анализа, то, начиная с некоторого и для всех последующих значений , неуклонно выполняется неравенство ; если же стремится по вероятности к при , то для отдельных значений неравенство может не выполняться.

Итак, теорема Бернулли утверждает, что при относительная частота стремится по вероятности к . Коротко теорему Бернулли записывают так:

.

5. СИСТЕМЫ ДВУХ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называют одномерными. Например, число очков, которое может выпасть при бросании игральной кости – дискретная одномерная величина; расстояние от орудия до места падения снаряда – непрерывная одномерная случайная величина.

Кроме одномерных СВ, изучают величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя, …, n числами. Такие величины называют соответственно двумерными, трехмерными, …, n -мерными.

Будем обозначать через двумерную случайную величину. Каждую из величин X и Y называют составляющей (компонентой); обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Аналогично n -мерную величину можно рассматривать как систему n случайных величин. Например, станок-автомат штампует стальные плитки. Если контролируемыми размерами являются длина X и ширина Y, то имеем двумерную случайную величину ; если же контролируется и высота Z, то имеем трехмерную величину .

Двумерную случайную величину геометрически можно истолковать либо как случайную точку на плоскости (т.е. как точку со случайными координатами), либо как случайный вектор . Трехмерную случайную величину геометрически можно истолковать как точку в трехмерном пространстве, или как вектор .

Целесообразно различать дискретные (составляющие этих величин дискретны) и непрерывные (составляющие этих величин непрерывны) многомерные случайные величины.

Определение 5.1. Законом распределения двумерной ДСВ называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел и их вероятностей , где .

Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом.

Первая строка таблицы содержит все возможные значения составляющей X, а первый столбец – все возможные значения составляющей Y. В клетке, стоящей на пересечении «столбца » и «строки », указана вероятность того, что двумерная случайная величина примет значение .

Так как события , образуют полную группу, то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы, равна единицы, т.е.

. (5.1)

Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти закон распределения каждой из составляющих (маргинальный закон распределения). Например, события несовместны, поэтому, чтобы найти вероятность того, что X примет значение , т.е. вероятность , надо просуммировать вероятности столбца :

. (5.2)

Аналогично сложив вероятности «строки », получим вероятность:

. (5.3)

А теперь введем понятие интегральной функции распределения двумерной случайной величины.

Рассмотрим двумерную случайную величину (безразлично дискретную или непрерывную). Пусть - пара действительных чисел.

Определение 5.2. Интегральной функцией распределения двумерной СВ (X; Y) называют функцию , определяющую для каждой пары чисел вероятность того, что X примет значение, меньшее x и при этом Y примет значение, меньшее y:

. (5.4)

Геометрически это равенство можно истолковать так: есть вероятность того, что случайная точка попадет в бесконечный квадрант с вершиной , расположенный левее и ниже этой вершины.

Для дискретной СВ :

, (5.5)

где суммирование производится по всем тем точкам , для которых одновременно и .

Дата добавления: 2015-07-15