Тогда для сходимости ряда (7) необходимо и достаточно, чтобы сходился (существовал) несобственный интеграл

.

Доказательство. Рассмотрим ряд, членами которого являются интегралы:

(9)

Частичными суммами этого ряда, очевидно, также будут интегралы:

.

Сходимость ряда (9) означает существование предела последовательности частичных сумм, т. е. сходимость несобственного интеграла

. (10)

Так как функция монотонна и не возрастает, то из (8) следует, что для любого между и справедливо неравенство

. (11)

Интегрируя каждую из трех частей этого неравенства по от до , мы приходим к неравенству интегралов

,

или . (12)

Пусть ряд (7) сходится. Обратим внимание на левую сторону неравенства (12). По первому признаку сравнения должен сходиться и составленный из интегралов ряд (9), а, следовательно, и несобственный интеграл (10).

Пусть теперь ряд (7) расходится. Тогда, по первому признаку сравнения расходится и ряд

получаемый из нашего ряда отбрасыванием его первого члена. Взглянем теперь на правую сторону неравенства (12) и применим снова признак сравнения, но уже в той его части, которая касается расходимости. Мы получим, что должен расходиться ряд из интегралов (9), т. е. несобственный интеграл (10). ¨

Пример 13. Исследовать на сходимость ряд

Решение

Члены ряда суть значения функции при Так как для эта функция непрерывна, положительна и убывает, то вопрос о сходимости ряда эквивалентен вопросу о сходимости интеграла По определению несобственного интеграла

несобственный интеграл сходится, а следовательно, сходится и исходный числовой ряд.

Дата добавления: 2015-07-18