Режимы работы осциллятора при подводе к нему энергии. Маятник Фруда и ламповый генератор

Н. Е. Жуковским было предложено устройство совершенного (без потерь) подвеса маятника, схематически показанное на рис. 48. Муфта A, насаженная на вал С, составляет одно целое с маятником В. Вал расположен горизонтально и равномерно вращается с угловой скоростью ω, маятник совершает колебания в плоскости, перпендикулярной к валу.

Можно показать, что если угловая скорость вала достаточно велика и сила трения муфты о вал не зависит от скорости скольжения, то потери энергии колебаний в подвесе не будет. Рассмотрим, как велика должна быть угловая скорость вращения вала.

Второй закон Ньютона для вращательного движения имеет вид:

Je = M_тр-М_тяж, М_тяж = mg a sinφ, (163)

где а - расстояние от оси вращения до центра масс, φ - угол отклонения маятника от вертикали, m - масса маятника, g - ускорение свободного падения, e - угловое ускорение маятника, J - момент инерции маятника.

Момент силы тяжести в процессе движения меняет свой знак.

Момент силы трения равен: M_тр = RF_тр,

где R - радиус вала, F_тр - величина силы трения скольжения

F_тр = m Р, μ - безразмерный коэффициент трения, P – сила давления маятника на ось. Из рисунка рис. 48 следует: Р = mg co sφ.

Тогда F_тр = mmg cosφ; a M_тр = Rmmg cos (164)

Рис. 48. Маятник Фруда

Если предположить, что вал вращается по часовой стрелке, то момент силы тяжести на рисунке направлен от нас перпендикулярно плоскости чертежа.

Относительно оси ОХ он будет отрицательным, а момент силы трения положительным.

Подставив значение величин в формулу (163) получаем:

Jε+ mga sin φ = Rmmg cosφ.

Это уравнение будет уравнением гармонических колебаний при условии, что амплитуда колебаний A = а | sinφ_m | значительно меньше характерной длины маятника а, где φ_m - -угол максимального отклонения маятника от положения равновесия.

a | sinφ_m | << a, | sinφ_m | << 1

При таком условии cos φ = 1 sin φ φ, а уравнение колебаний принимает вид:

J + mga φ = Rmmg (165)

В уравнении (163) ε =

Преобразуем (163) к виду:

+ φ = (166)

Величин = w , где ω₀ - частота собственных гармонических колебаний маятника.

Рассмотрим, каким образом изменится характер колебаний маятника, если сила трения муфты о вал (рис.48) будет зависеть от скорости скольжения муфты по валу при сохранении остальных условий предыдущей задачи.

Рассмотреть два случая:

1) сила трения возрастает с увеличением скорости скольжения

2) сила трения уменьшается с увеличением скорости скольжения.

Дата добавления: 2015-07-18