Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Примеры. Исследовать сходимость следующих рядов:

Читайте также:
  1. Vi. Некоторые методические примеры экономического обоснования проектируемых мероприятий
  2. Арифметические примеры для 6го занятия.
  3. Арифметические примеры для 8го занятия.
  4. Билет №20. Аллельные гены. Наследование признаков при взаимодействии аллельных генов. Примеры. Множественный аллелизм. Механизм возникновения.
  5. Билет №21. Неаллельные гены. Наследование признаков при взаимодействии неаллельных генов. Примеры.
  6. Виды узнавания. Примеры узнавания из греческой трагедии.
  7. Вопрос 2. Прямые методы оптимизации: общая характеристика и примеры пассивных и последовательных стратегий поиска.

Исследовать сходимость следующих рядов:

1)

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим , мысленно отбросив его первый член, равный 1 (что, естественно, не повлияет на сходимость ряда). Т.к. , , и вообще, (ведь ), то члены данного ряда больше членов расходящегося гармонического ряда, и, следовательно, на основании признака сравнения данный ряд расходится.

Понятно, что для применения признака сравнения в форме неравенства нужно сначала установить подходящее неравенство. При этом часто пользуются следующими стандартными неравенствами:

, (2.8)

,

.

Иногда приходится применять более сложные неравенства:

,

,

,

,

при некотором .

2)

Решение. Прежде всего, заметим, что это ряд с положительными членами, т.к. синус возводится в четную степень. Далее очевидное неравенство позволяет заключить, что , а поскольку ряд сходится, то и ряд с меньшими членами тоже сходится.

3)

Решение. Преобразуем выражение, стоящее под знаком суммы, следующим образом:

(здесь мы учли, что ).

Т.к. ряд – сходится (как обобщенный гармонический при ), то исследуемый ряд также сходится.

Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:

а) геометрический ряд – сходится при , расходится при ,

б) обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .

Нестандартность применения признака сравнения заключается в том, что надо не только подобрать соответствующий «эталонный» ряд, но и доказать неравенство (2.7), для чего часто требуется преобразование рядов (например, отбрасывание или приписывание конечного числа членов, умножение на определенные числа и т. п.). Более простым оказывается признак сравнения в предельной форме – ведь вычислять пределы обычно гораздо проще, чем доказывать неравенства.

Теорема.Второй признак сравнения (признак сравнения в предельной форме). Если и – ряды с положительными членами и существует предел отношения их общих членов , причем , то ряды ведут себя одинаково: либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Чаще всего исследуемый ряд сравнивают с обобщенным гармоническим рядом , причем p удобно подбирать в процессе сравнения, как это сделано ниже в примере 1.


Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 107 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Свойства сходящихся рядов | Необходимый признак сходимости рядов | Признаки сходимости знакопеременных рядов | Примеры | Примеры | Теорема Абеля | Примеры | Ряды Маклорена и Тейлора | Разложение в ряд Маклорена некоторых функций | Примеры |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Примеры| Примеры

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)