Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Необходимый признак сходимости рядов

Читайте также:
  1. Ordm;. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
  2. Quot;Крупный бицепс не является критерием силы так же, как большой живот не является признаком хорошего пищеварения".
  3. А рядовой Кагановский - по домашним булочкам.
  4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
  5. Билет №20. Аллельные гены. Наследование признаков при взаимодействии аллельных генов. Примеры. Множественный аллелизм. Механизм возникновения.
  6. Билет №21. Неаллельные гены. Наследование признаков при взаимодействии неаллельных генов. Примеры.
  7. В случае, где признак сцеплен с Х-хромосомой

Необходимым признаком сходимости рядов является следующая теорема.

Теорема. Если ряд сходится, то предел его общего члена при равен нулю, т.е. .

Однако на практике в таком виде применять теорему для исследования ряда невозможно, т.к. мы не знаем, сходится ли наш ряд. Поэтому для практического применения необходимый признак сходимости сформулируем в следующем виде:

Следствие. Если предел общего члена ряда при не равен нулю, то ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Т.к. , то ряд расходится (по необходимому признаку сходимости).

Очень важно помнить, что из того, что , не следует ни сходимость, ни расходимость ряда. Говорят, что если , то необходимый признак не работает.

Замечание. Смысл или польза этого признака: если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся, а если , то это заведомо расходящийся ряд. Этот признак является необходимым, но не достаточным.

В качестве примера рассмотрим ряд

, (2.1)

называемый гармоническим.

Необходимый признак сходимости для этого ряда не работает, т.к. . Докажем, что ряд расходится.

Перепишем ряд (2.1) в виде:

(2.2)

Напишем вспомогательный ряд:

(2.3)

Ряд (2.3) строится так, что каждый его член меньше либо равен соответствующему члену ряда (2.2).

Обозначим через сумму первых членов ряда (2.2), и через частичную сумму ряда (2.3).

Т.к. каждый член ряда (2.2) больше либо равен соответствующему ему члену ряда (2.3), то

. (2.4)

Вычислим несколько частичных сумм ряда (2.3) для значений , равных :

………………………………………………………….

следовательно, , а тогда в силу (2.4) , и ряд (2.1) расходится.

Далее рассмотрим достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.


Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 71 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Примеры | Примеры | Признаки сходимости знакопеременных рядов | Примеры | Примеры | Теорема Абеля | Примеры | Ряды Маклорена и Тейлора | Разложение в ряд Маклорена некоторых функций | Примеры |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Свойства сходящихся рядов| Примеры

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)