Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Если для ряда (1) с положительными членами

Читайте также:
  1. Ordm;. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
  2. Автор не дописанного пособия: Максим Базылев ( Адольф М18) и реализованный до конца другими членами Русской Воли.
  3. ВОСПРИЯТИЕ КУЛЬТУРЫ ЧЛЕНАМИ ОБЩЕСТВА
  4. ГРУППЫ, РАЗДЕЛЯЕМЫЕ ПО ХАРАКТЕРУ ВЗАИМООТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ИХ ЧЛЕНАМИ
  5. Исследовать на сходимость указанные ряды с положительными членами
  6. Исследовать на сходимость указанные ряды с положительными членами

(6

а) l < 1 ряд сходится; б) l > 1 ряд расходится; в) l = 1 признак ответа не дает.

Д о к а з а т л ь с т в о проведём для l < 1 (cлучай l > 1 доказывается аналогично). Возьмём число q такое, что l< q <1, тогда начиная с некоторого номера выполнено неравенство | |<q-l, или < q, откуда un < qn для всех . Отбросим первые N - 1 членов в ряде (1), тогда получим ряд

uN +uN+1+uN+2 +… (7)

все члены которого меньше соответствующих членов ряда:

qN+ qN+1 + qN+2 + … (8)

Этот ряд при q <1 − убывающая геометрическая прогрессия. Члены ряда (7), начиная с номера , меньше членов ряда (8). Из сходимости ряда (8) следует сходимость ряда (7).

2. Интегральный признак

Пусть члены ряда (1) положительны и не возрастают, т.е.

u1 ³ ³ u2 ³ u3 ³ ¼ и пусть f(x) − непрерывная и невозрастающая функция, что f(1) = u1, f(2) = u2, ¼, f(n) = un, ¼, тогда справедливы следующие утверждения.

1.Если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд (1). 2.Если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд (1).

На координатной плоскости отметим по оси x значения x = 1,2,3,…, которые соответствуют n = 1,2,3,… восстановим перпендикуляр, длиной равной un . Соединим все точки плавной линией (см. рис.2)

Рис. 2

Сумма площадей прямоугольников, построенных таким образом, что основание равно 1, а высота un, начиная с n = 1

Sn= u1+ u2+ u3+ …+ un >

На рис. 3 сумма площадей всех построенных прямоугольников равна сумме всех членов ряда, начиная со второго до (n+1)-го , т.е.

Sn+1 - u1 <

 

 

Рис. 3

или

Sn+1 < + u1.

Пусть сходится, т.е. < и Sn < Sn+1 < < + u1. Это означает, что частичные суммы ограничены при всех n и Ряд сходится.

Пример 6. Установить сходимость ряда с общим членом un = = . Запишем (n+1)-ый член ряда

un+1 =


Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 36 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Достаточные признаки сходимости| Знакопеременные ряды

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.012 сек.)