метод неопределенных коэффициентов

I. Т.к. уравнение (11) неоднородное, его общее решение будет состоять из суммы общего однородного и частного неоднородного уравнений, т.е.

.

Составляем соответствующее однородное уравнение

(12)

Его характеристическое уравнение

(13)

структура фундаментальной системы решений зависит от вида корней характеристического уравнения (13).

Различают 3 случая.

а). Все корни характеристического уравнения (13) различны и вещественны. Обозначим их . Фундаментальная система решений:

,

а общее решение имеет вид:

.

б). Все корни характеристического уравнения (13) различны, но среди них имеются комплексные. Пусть - комплексный корень уравнения (13). Тогда - тоже является корнем этого уравнения. Этим корням соответствуют два линейно независимых частных решения:

.

Если и то частные решения будут иметь вид

.

Написав линейно независимые частные решения, соответствующие другим сопряженным парам комплексных корней и всем вещественным корням и составив линейную комбинацию из этих решений с произвольными постоянными коэффициентами, получим обще решение уравнения (12).

в). Среди корней характеристического уравнения имеются кратные. Пусть k₁ вещественный r -кратный корень. Тогда ему соответствуют r линейно независимых частных решений вида:

.

Если - комплексные корни уравнения (13) кратности r, то им соответствует 2r линейно независимых частных решений вида:

Написав линейно независимые частные решения указанного вида, соответствующие всем простым и кратным вещественным корням, а также сопряженным парам простых и кратных комплексных корней, получим фундаментальную систему решений.

II. По виду правой части уравнения (11) подбирают частное решение неоднородного уравнения.

Возможны случаи.

1). , где P(x) – многочлен от x степени n.

а). Если число 0 не является корнем характеристического уравнения (13), то частное решение неоднородного уравнения (11) можно найти в виде , где Q(x) – многочлен от x той же степени n, что и P(x) в общем, виде (т.е. с неопределенными коэффициентами).

Например,

б). Если же 0 -корень характеристического уравнения кратности r, то

.

2). .

а). Если число α не является корнем характеристического уравнения (13), то

.

3) , где - многочлены степени m и n соответственно (один из многочленов может быть тождественно равен нулю);

а) если не является корнем уравнения (13), то

,

где - многочлены степени .

б) если является корнем характеристического уравнения кратности r, то

.

4) где - функции вида, рассмотренного 1), 2), 3). Если являются частными решениями, которые соответствуют функциям , то

.

Задача 12. найти общее решение дифференциального уравнения.

12.31 .

Решение. Это неоднородное дифференциальное уравнение 3-го порядка, которое не содержит искомой функции y. Данное уравнение может быть разрешено как минимум еще двумя способами: методом вариации произвольных постоянных и методом неопределенных коэффициентов для определения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим второй способ.

Составим соответствующее однородное уравнение

.

Характеристическое уравнение имеет корни: (случай Iа). Частные решения однородного уравнения:

.

Соответственно обще однородного .

Теперь рассмотрим правую часть исходного уравнения: - многочлен второй степени (случай II1). По его виду составим частное решение неоднородного уравнения: .

Множитель x появляется исходя из того, что x=0 является корнем характеристического уравнения. Находя и подставляя найденное в исходное уравнение, получим

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему

,

из которой A=1/3, B=1, C=1/2. Подставляя эти значения в общий вид частного решения, получим

.

Учитывая, что общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего однородного и частного неоднородного, имеем

.

Задача 13. найти общее решение дифференциального уравнения.

13.31 .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Характеристическое уравнение имеет корни: (случай Iа). Поэтому .

По виду правой части составим общий вид частного решения неоднородного уравнения, учитывая, что a=2 – является корнем характеристического уравнения (случай II2б): .

Дифференцируя последнее 3 раза и подставляя в исходное уравнение, найдем, что A=1, B=0. Тогда частным решением исходного уравнения будет функция .

Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения

.

Задача 14. найти общее решение дифференциального уравнения.

.

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

.

Характеристическое уравнение имеет двукратный корень k=2 (Iв). Поэтому .

По виду правой части легко составить в общем виде частное решение исходного уравнения: , т.к. 2-6i не является корнем характеристического уравнения (II3а). Для этой функции ищут y^/ и y^// и подставляют в данное нам уравнение. Таким образом, определяют, что B=0 и A=-1/36.

Тогда, - частное решение нашего неоднородного уравнения, а искомое решение имеет вид:

.

Задача 15. найти общее решение дифференциального уравнения.

15.31 .

Решение. Т.к. корни характеристического уравнения , то - общее решение однородного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

.

Функция составлена по виду правой части, с учетом того, что x=0 является корнем характеристического уравнения, а 10i – нет.

Подставляя эту функцию в исходное уравнение, найдем, что

Тогда, общим решением дифференциального уравнения будет являться функция:

.

метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

1. Для уравнения (11) составляют соответствующее однородное уравнение (12) и находят его общее решение y_о.о.:

. (14)

2. В уравнении (14) полагают константы функциями от x, т.е. . Эти функции находят из системы:

Решают эту систему методом Крамера. Определитель этой системы – определитель Вронского (он будет отличен от нуля для линейно независимых функций).

.

Тогда: . Отсюда

.

Подставляя эти значения в (14), получим общее решение уравнения (11):

.

Задача 16. Найти решение задачи Коши

.

Решение. Воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. (Следует иметь в виду, что метод имеет место, когда коэффициент при старшей производной равен единице!)

Найдем общее решение уравнения ; т.к. корнями характеристического уравнения являются числа , то .

Предполагая, что с₁ и с₂ – есть функции от x, будем искать решение исходного уравнения в виде , где c₁(x) и c₂(x) найдем из системы:

Составим определитель этой системы – определитель Вронского:

.

(Т.к. определитель отличен от нуля, система имеет решение и при том единственное.)

.

Тогда . Отсюда, интегрированием находим

.

Таким образом, общее решение исходного уравнения будет выглядеть так:

.

Для решения задачи Коши найдем y^/:

.

Подставляя начальные условия в у и у^/ найдем, что с₁=1, с₂=0. Тогда - частное решение.

литература

Учебники:

1. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 1990.

2. Берман А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для ВТУЗов. – М.: Изд. «Наука». Гл.ред. физ.-мат. лит.,1967.

Пособия по решению задач:

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах – М.: Высшая школа, 1986.

2. Запорожец Г.И. руководство по решению задач по математическому анализу – М.: Высшая школа, 1964.

3. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике – Харьков: Изд. ХГУ им. М.Горького, 1965.

Методическая литература:

1.Скорик А.И., Шевердинская В.П. Методические указания по выполнению ТР – 2 и контрольной работы «Дифференциальные уравнения». Часть I. – Орел, 1990.

2.Скорик А.И., Шевердинская В.П. Методические указания к выполнению ТР и для индивидуальной работы студентов. Дифференциальные уравнения высших порядков. – Орел, 1992.

Задачники:

1. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Специальные разделы математического анализа. Под. ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. – М: «Наука», Гл.ред. физ. – мат. лит., 1986.

2. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) – М.: Высшая школа, 1983.

Справочники:

1.Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. – М.: Наука, Гл.ред. физ. – мат. лит., 1986.

Дата добавления: 2015-07-14