Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Однородные уравнения первого порядка

Читайте также:
  1. Dollar Index Cash (Индекс Долларовой Наличности), Покупка Первого Типа
  2. I. Азбука квадратного уравнения
  3. II. Положительное согласование порядка и прогресса
  4. quot;ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОБЩЕСТВЕННОГО ПОРЯДКА
  5. Анализ уравнения Лэнгмюра
  6. В изложении учеников первого круга
  7. Вести первого и второго ангелов

 

Уравнение первого порядка называется однородным, если f(x,y) можно представить как функцию только одного отношения переменных , т.е. уравнение вида .

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными посредством замены функции у (или х) новой функцией t по формуле y=tx (x=ty), причем .

Дифференциальное уравнение типа:

приводится к однородному с помощью переноса начала координат в точку 00) пересечения прямых , т.е. замена переменных Х=х-х0, У=у-у0.

Если эти прямые не пересекаются, то , и рассматриваемое уравнение сводится к виду , которое приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой , тогда

Задача №2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

2.31 .

Решение. Данное уравнение первого порядка уже разрешено относительно производной. Установим, что она является функцией только отношения переменных , т.е. установим, что данное уравнение является однородным. Для этого числитель и знаменатель дроби разделим на x2. (Другими словами, сократим дробь на x2.)

.

Далее вводим новую функцию . Отсюда, . После подстановки данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными . Разделим переменные: и, интегрируя, найдем

Возвращаясь к старым переменным, получим

Ответ:

Задача №3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

3.31

Решение. Также как и в задаче №2 это тоже однородное дифференциальное уравнение. Докажем это, найдя точку пересечения прямых, стоящих в числителе и знаменателе и сделав соответствующую замену переменных.

Из последней системы легко видеть, что . Подставим найденные х и у в исходное уравнение, получим

.

Далее решаем полученное однородное уравнение путем замены.

Возвращаясь к старым переменным, получим:

,

что и является ответом.

 

 


Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 111 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Уравнение Бернулли | Уравнения в полных дифференциалах | Метод изоклин | Геометрические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка | Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка | метод неопределенных коэффициентов |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Уравнения с разделяющимися переменными| Линейные уравнения первого порядка

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)